ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 521: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо знать площади его основания и высоту. В условии даны стороны основания и угол между ними, что позволяет вычислить площадь основания. Также известно, что меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол 45^° с плоскостью основания. Это означает, что проекцией меньшей диагонали на основание является меньшая диагональ самого основания. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой параллелепипеда, меньшей диагональю основания и меньшей диагональю параллелепипеда, можно найти высоту.

Вычисление.

1. Найдём площадь основания S_осн. Основание — это параллелограмм со сторонами a=7 см и b=32 см, и острым углом β=45^°.

S_осн =a·b·sinβ=7·32·sin45^° Так как sin45^°=2/2, то: S_осн =212·2/2=21·2/2=21 см²

2. Найдём длину меньшей диагонали основания d₁. По теореме косинусов для треугольника, образованного сторонами a, b и диагональю d₁ (против угла 45^°):

d21=a²+b²-2abcos45^° Подставим значения: d21=7²+(32)²-2·7·32·2/2 d21=49+18-42·2/2=67-42=25 Отсюда d₁=25=5 см. (Проверка: вторая диагональ d₂ против тупого угла 135^°: d22=49+18-42(-2/2)=67+42=109>25, значит d₁ действительно меньшая).

3. Найдём высоту параллелепипеда H. Меньшая диагональ параллелепипеда D₁ проецируется на основание в отрезок d₁. Угол между D₁ и плоскостью основания равен 45^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами H и d₁ и гипотенузой D₁. Тангенс угла наклона:

tan45^°=H/d₁ Так как tan45^°=1, то: H=d₁·1=5 см

4. Вычислим объём параллелепипеда V:

V=S_осн ·H=21·5=105 см³

Проверка.

Площадь основания рассчитана верно через синус угла. Диагональ основания найдена по теореме косинусов, значение положительное и меньше второй диагонали. Высота равна проекции диагонали из-за угла 45^°. Объём равен произведению площади основания на высоту. Результат совпадает с ожидаемым порядком величин.