ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 524: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Обозначим катеты основания-треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Пусть высота призмы равна h. Так как призма прямая, её боковые грани — прямоугольники со сторонами (a,h), (b,h) и (c,h). Площади этих граней равны S₁=ah, S₂=bh и S₃=ch. По условию наименьшая площадь равна 3 м², наибольшая — 35 м². Объём призмы вычисляется по формуле V=S_осн ·h=1/2abh=3 м³. Нам нужно найти все шесть рёбер: три ребра нижнего основания (a,b,c), три ребра верхнего основания (такие же a,b,c) и три боковых ребра (h).

Вычисления.

Из условия на объём имеем:

Рассмотрим площади боковых граней. Поскольку c — гипотенуза прямоугольного треугольника, то c>a и c>b. Следовательно, площадь грани с гипотенузой S₃=ch будет наибольшей из всех боковых площадей (так как h>0). Значит:

Наименьшая площадь соответствует меньшему из катетов. Без потери общности предположим, что a≤b. Тогда наименьшая площадь — это ah=3.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. abh=6
2. ch=35
3. ah=3

Из уравнения (3) выразим h: h=3/a. Подставим это в уравнение (1):

Теперь найдём связь между a и h. Из ah=3 следует h=3/a. Подставим h в уравнение (2):

Так как основание — прямоугольный треугольник, справедлива теорема Пифагора: a²+b²=c². Подставим известные значения b=2 и c=a5:

Теперь найдём остальные величины:

• Катет a=1 м.
• Катет b=2 м.
• Гипотенуза c=a5=5 м.
• Высота h=3/a=3/1=3 м.

Проверим вторую площадь боковой грани bh: 2·3=6 м². Она лежит между минимальной (3 м²) и максимальной (35≈6.7 м²), что согласуется с условием задачи (минимум и максимум заданы верно).

Ответ и проверка.

Длины рёбер призмы: Основание: 1 м, 2 м, 5 м. Боковые рёбра: 3 м, 3 м, 3 м. Верхнее основание такое же, как нижнее: 1 м, 2 м, 5 м. Всего рёбер 9, но обычно под «длинами рёбер» понимают набор уникальных длин или перечисление всех. В ответе учебника приведены числа: 1,2,5,3,3,3. Это соответствует трём рёбрам одного основания и трём боковым рёбрам (или просто списку всех различных измерений с учётом кратности боковых). Запишем полный список длин всех 9 рёбер для полноты, но ключевые размеры совпадают с ориентиром.