ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 522: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма прямого параллелепипеда V=S_осн ·h нам необходимо определить площадь основания и высоту. Основанием является прямоугольник ABCD, одна сторона которого дана (AB=3 см). Высоту параллелепипеда обозначим за h. Используя свойства диагоналей прямого параллелепипеда и условие их взаимной перпендикулярности, составим систему уравнений для нахождения неизвестных сторон основания и высоты.

Вычисление.

Пусть стороны основания равны a=AB=3 см и b=BC, а высота параллелепипеда равна c=AA₁. Введём систему координат так, чтобы точка A была началом координат (0;0;0). Тогда координаты вершин будут следующими:

• A(0;0;0)
• B(a;0;0)=(3;0;0)
• C(a;b;0)=(3;b;0)
• D(0;b;0)
• A₁(0;0;c)
• B₁(a;0;c)=(3;0;c)
• C₁(a;b;c)=(3;b;c)
• D₁(0;b;c)

Найдём векторы диагоналей BD₁ и A₁C:

По условию диагонали взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

Также известно, что длины диагоналей равны 6 см и 8 см. Квадрат длины диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: d²=a²+b²+c². Подставим a=3:

Рассмотрим два случая распределения длин диагоналей:

1. Если |BD₁|=6 и |A₁C|=8:
36=9+b²+c²⇒b²+c²=27 (2a) 64=9+b²+c²⇒b²+c²=55 (2b) Это противоречие, так как сумма b²+c² не может быть одновременно 27 и 55. Значит, этот случай невозможен или я ошибся в предположении о равенстве сумм? Нет, квадрат любой пространственной диагонали прямого параллелепипеда одинаков! BD₁ и A₁C — это пространственные диагонали. Их длины должны быть равны. Но по условию они равны 6 и 8. Это невозможно для прямого параллелепипеда, если только он не вырожденный или я неправильно понял геометрию.

Давайте проверим формулу длины пространственной диагонали. Для прямого параллелепипеда все пространственные диагонали равны. AC₁=BD₁=CA₁=DB₁. Если в условии сказано, что BD₁=6 и A₁C=8, то это противоречие для любого прямого параллелепипеда с прямоугольным основанием. Однако, возможно, речь идёт о том, что это разные диагонали? Нет, BD₁ и A₁C — обе являются пространственными диагоналями. В прямом параллелепипеде все пространственные диагонали равны. Следовательно, условие "равны 6 см и 8 см" математически невозможно для стандартного определения прямого параллелепипеда с прямоугольным основанием.

Перечитаем внимательно: "В прямом параллелепипеде... диагонали BD_1 и A_1C...". Да, это пространственные диагонали. Их длины всегда равны. Возможно, в задаче опечатка в ключевом слове "прямой"? Или в названиях точек? Допустим, это наклонный параллелепипед? Но тема §4 про шары, обычно задачи простые. Давайте посмотрим на ключ 1611. Попробуем решить задачу, игнорируя факт равенства диагоналей, используя данные как проекции или другие элементы? Нет, это грубая ошибка.

Альтернативная интерпретация: Может быть, BD₁ и A₁C не пространственные? B и D₁ — противоположные вершины. A₁ и C — противоположные вершины. Это точно пространственные диагонали.

Давайте предположим, что в условии подразумевается, что это не прямой параллелепипед, а просто параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию? Это и есть определение прямого. Значит, диагонали равны. Условие противоречиво.

Однако, часто в таких задачах под "диагоналями" могут иметь в виду диагонали граней? Нет, индексы 1 указывают на пространственность.

Попробуем другой подход. Что если мы ошиблись в выводе b²-c²=9? Скалярное произведение верно. Что если длины даны для других отрезков?

Давайте посмотрим на ответ 1611≈53. Объём V=3bh. Если бы диагонали были равны d, то d²=9+b²+c². Из перпендикулярности b²-c²=9. Тогда d²=9+(9+c²)+c²=18+2c². Также d²=9+b²+(b²-9)=2b². То есть 2b²=18+2c²⇒b²-c²=9. Это согласуется. Но d должно быть одним числом. Здесь d₁=6,d₂=8. Это невозможно.

Единственный способ получить осмысленное решение при таком "противоречивом" условии — считать, что это наклонный параллелепипед, но тогда нужно знать углы наклона. Или же, что точки названы иначе.

Проверим вариант, где BD₁ и A₁C — это диагонали граней ? Например, BD и A₁C₁? Нет, индексы смешаны.

Давайте попробуем решить задачу формально, используя данные числа, предполагая, что автор задачи допустил ошибку в определении типа параллелепипеда (например, имел в виду, что это параллелепипед, у которого основание ромб, и боковые грани перпендикулярны? Нет, это тоже прямой).

Существует класс задач, где "прямой параллелепипед" путают с "параллелепипедом с прямоугольным основанием", но боковые рёбра наклонены. Пусть боковое ребро AA₁ образует угол с основанием. Тогда диагонали могут быть разными.

Но давайте посмотрим на структуру ответа 1611. 1611/3≈17.6. b·h≈17.6.

Попробуем гипотезу: Задача решается через векторную алгебру без привязки к "прямости" в смысле равенства диагоналей, а используя только данные векторы. Пусть a,b,c — векторы рёбер из вершины A. AB=a,AD=b,AA₁=c. Так как параллелепипед прямой, то a⊥b, a⊥c, b⊥c. Это возвращает нас к тому, что диагонали равны.

Что если условие "прямой" относится только к тому, что боковые рёбра перпендикулярны основанию, но основание не прямоугольник? Нет, в определении прямого параллелепипеда основание — параллелограмм, а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Диагонали такого параллелепипеда равны только если основание — прямоугольник. В условии дано AB=3, но не сказано, что угол ABC прямой. Однако, обычно "прямой параллелепипед" подразумевает прямоугольное основание в школьном курсе? Нет, прямой параллелепипед имеет боковые рёбра, перпендикулярные основанию. Основание может быть любым параллелограммом. Если основание — параллелограмм, то пространственные диагонали НЕ равны!

Исправляем модель: Прямой параллелепипед с основанием ABCD (параллелограмм). Боковые рёбра AA₁⊥ABCD. Пусть AB=a=3, AD=b, угол BAD=α. Высота h=c.

Координаты (ось Z вдоль высоты):

A(0,0,0)

B(3,0,0)

D(bcosα,bsinα,0)

C(3+bcosα,bsinα,0)

A₁(0,0,c)

D₁(bcosα,bsinα,c)

Вектор BD₁=D₁-B=(bcosα-3,bsinα,c)

Вектор A₁C=C-A₁=(3+bcosα,bsinα,-c)

Условие перпендикулярности BD₁·A₁C=0:

(bcosα-3)(3+bcosα)+(bsinα)²+c(-c)=0 b²cos²α-9+b²sin²α-c²=0 b²(cos²α+sin²α)-9-c²=0 b²-c²=9 (·) Это соотношение не зависит от угла β! Отлично.

Теперь используем длины диагоналей.

|BD₁|²=(bcosα-3)²+b²sin²α+c²=b²cos²α-6bcosα+9+b²sin²α+c²=b²+c²+9-6bcosα

|A₁C|²=(3+bcosα)²+b²sin²α+(-c)²=9+6bcosα+b²cos²α+b²sin²α+c²=b²+c²+9+6bcosα

Пусть X=b²+c²+9 и Y=6bcosα. Тогда:

|BD₁|²=X-Y

|A₁C|²=X+Y

Дано: диагонали равны 6 и 8. Не важно, какая какая, так как система симметрична относительно знака Y.

Случай 1: |BD₁|=6,|A₁C|=8.

X-Y=36 X+Y=64 Складывая: 2X=100⇒X=50.

Вычитая: 2Y=28⇒Y=14.

Из X=b²+c²+9=50 следует:

b²+c²=41 (··)

У нас есть система для b и c:

1) b²-c²=9 (из условия перпендикулярности)
2) b²+c²=41 (из суммы квадратов диагоналей)

Сложим эти уравнения:

2b²=50⇒b²=25⇒b=5 2c²=32⇒c²=16⇒c=4

Мы нашли сторону AD=b=5 см и высоту h=c=4 см.

Теперь нужно найти объём. V=S_осн ·h. Площадь основания S_осн =AB·AD·sinα=3·5·sinα=15sinα.

Нужно найти tanα или β. Мы знаем Y=6bcosα=14.

6·5·cosα=14 30cosα=14 cosα=14/30=7/15

Найдём β:

sinα=1-cos²α=1-(7/15)²=1-49/225=176/225=16·11/15=411/15

Площадь основания:

S_осн =15·411/15=411

Объём параллелепипеда:

V=S_осн ·h=411·4=1611

Ответ совпадает с ключом. Таким образом, основанием является параллелограмм, а не прямоугольник.