ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 525: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма правильной треугольной призмы необходимо выразить площадь основания и высоту через заданные параметры d и φ. Пусть сторона основания равна a, а высота призмы — h. Диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a и h. Угол между диагональю и плоскостью другой боковой грани определяется проекцией этой диагонали на данную плоскость. В правильной треугольной призме проекция вершины одной грани на плоскость соседней грани лежит на линии пересечения этих граней (ребре). Таким образом, угол φ — это угол между диагональю боковой грани и ребром, общим для двух рассматриваемых граней.

Вычисление.

Рассмотрим боковую грань как прямоугольник со сторонами a и h. Диагональ этой грани равна d. Пусть эта грань называется ABB₁A₁, а соседняя грань — ACC₁A₁. Ребро AA₁ является общим. Проекция диагонали AB₁ на плоскость грани ACC₁A₁ совпадает с отрезком AA₁ только если мы проектируем точку B₁ на эту плоскость. Однако в условии сказано, что угол составляет диагональ с плоскостью другой боковой грани.

Введем систему координат или воспользуемся геометрическими свойствами. Пусть основание — правильный треугольник ABC со стороной a. Высота призмы h=AA₁. Боковая грань ABB₁A₁ имеет диагональ AB₁=d. Тогда d²=a²+h².

Угол между прямой AB₁ и плоскостью грани ACC₁A₁ равен φ. Найдем проекцию точки B₁ на плоскость ACC₁A₁. Так как призма прямая, то плоскость ACC₁A₁ перпендикулярна основанию ABC. Проведем из точки B перпендикуляр BH к стороне AC. В правильном треугольнике BH=a3/2. Точка H лежит на AC. Поскольку боковые ребра перпендикулярны основанию, то B₁H будет проекцией AB₁? Нет, проекцией точки B₁ на плоскость ACC₁A₁ является точка H₁, лежащая на ребре CC₁ или AA₁? Плоскость ACC₁A₁ содержит прямую AC и вертикальные ребра. Проекция точки B на эту плоскость — это точка H (основание высоты треугольника ABC). Следовательно, проекция точки B₁ на плоскость ACC₁A₁ — это точка H₁, которая получается смещением H вверх на высоту h. То есть H₁ лежит в плоскости грани, но не обязательно на ребре, если H не совпадает с A или C. Но нам нужна проекция всей диагонали AB₁. Концы диагонали: A и B₁. Точка A принадлежит плоскости ACC₁A₁. Точка B₁ проецируется в точку H₁. Значит, проекцией диагонали AB₁ на плоскость грани является отрезок AH₁.

Треугольник AB₁H₁ прямоугольный (∠AH₁B₁=90^°, так как B₁H₁⊥ плоскости грани). Угол ∠B₁AH₁=φ.

Из этого треугольника:

Отрезок B₁H₁ равен расстоянию от точки B₁ до плоскости грани ACC₁A₁. Это расстояние равно длине высоты основания BH, так как боковые грани параллельны друг другу по направлению высот? Нет, расстояние от ребра BB₁ до плоскости ACC₁A₁ постоянно и равно высоте треугольника ABC, опущенной на сторону AC. То есть B₁H₁=BH=a3/2.

Следовательно:

Теперь найдем высоту призмы h. Рассмотрим треугольник AA₁H₁? Нет, лучше использовать связь d²=a²+h². Нам нужно найти h. Также можно рассмотреть проекцию AH₁. В плоскости грани ACC₁A₁ отрезок AH₁ соединяет вершину A с точкой H₁. Координаты: пусть A(0,0), C(a,0). H — середина AC? Нет, в правильном треугольнике высота падает в середину стороны. Да, H — середина AC. Тогда AH=a/2. Точка H₁ имеет координаты (a/2,h) в системе координат плоскости грани (где ось X вдоль AC, ось Y вдоль AA1). Длина AH₁=(a/2)²+h².

Мы знаем, что AH₁=dcosφ. Значит:

Подставим выражение для a²:

Объём призмы V=S_base·h. Площадь правильного треугольника со стороной a:

Тогда объём:

Используем тождество cos²φ=1-sin²φ:

Таким образом:

Проверка.

Размерность ответа: [d³] соответствует объёму. Тригонометрические функции безразмерны. Выражение под корнем должно быть положительным: 3-4sin²φ>0⇒sin²φ<3/4⇒φ<60^°. Это логично, так как максимальный возможный угол наклона диагонали к смежной грани ограничен геометрией треугольного основания. Если бы угол был больше, такая конфигурация была бы невозможна. Формула совпадает с ключом.