ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 527: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Объём любой призмы вычисляется по формуле V=S_осн ·h, где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы (расстояние между плоскостями оснований). В данной задаче боковыми рёбрами являются отрезки AA₁, BB₁ и CC₁. Поскольку эти отрезки равны и параллельны (так как лежат на параллельных прямых), они образуют параллелограммы в боковых гранях. Это означает, что многогранник с вершинами A,B,C,A_1,B_1,C₁ является треугольной призмой. Нам нужно доказать, что произведение площади основания на высоту не меняется при смещении точек A,B,C вдоль соответствующих прямых.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим основание призмы — треугольник ABC. Пусть векторы a,b,c задают направления трёх параллельных прямых. Так как прямые параллельны, их направляющие векторы коллинеарны. Обозначим общий единичный вектор направления прямых как l.

Пусть точки A,B,C имеют радиус-векторы r_A,r_B,r_C. При смещении точек вдоль прямых координаты меняются так: r′_A=r_A+t_Al, r′_B=r_B+t_Bl, r′_C=r_C+t_Cl.

Площадь основания S_ABC можно найти через векторное произведение сторон треугольника. Например, 2S_ABC=|(r_B-r_A)×(r_C-r_A)|. Подставим новые координаты:

Векторное произведение этих разностей содержит члены вида (u+kl)×(v+ml)=u×v+k(l×v)+m(u×l). Однако ключевой момент заключается в том, что объём призмы также можно выразить через смешанное произведение векторов бокового ребра и двух векторов основания.

Более простой геометрический подход (ссылаясь на указание к задаче 526): объём призмы равен произведению площади проекции основания на плоскость, перпендикулярную боковому ребру, на длину бокового ребра. Или же: V=S_перп ·l, где l — длина бокового ребра (AA₁=BB₁=CC₁=l), а S_перп — площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам.

Так как все три прямые параллельны, то сечение этих прямых плоскостью, перпендикулярной им, даёт три фиксированные точки A′,B′,C′ (проекции любых точек с данных прямых на эту плоскость будут совпадать с этими фиксированными точками, если мы рассматриваем взаимное расположение самих прямых).

Действительно, пусть плоскость β перпендикулярна данным параллельным прямым. Тогда проекциями точек A,B,C на плоскость β являются точки A′,B′,C′, которые являются точками пересечения прямых с плоскостью β. Поскольку сами прямые фиксированы, то и точки A′,B′,C′ фиксированы. Следовательно, площадь треугольника A′B′C′ (которая есть S_перп) постоянна и не зависит от того, где именно на прямых взяты точки A,B,C.

Длина бокового ребра l по условию задана и постоянна (AA₁=BB₁=CC₁=l).

Тогда объём призмы равен:

Так как S_A′B′C′ — константа (площадь треугольника, образованного следами параллельных прямых на перпендикулярной плоскости), и l — константа, то объём V не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Проверка.

Если бы мы изменили положение точек A,B,C на своих прямых, форма основания ABC могла бы измениться (треугольник мог бы стать более «вытянутым» вдоль направления прямых или сдвинутым), но его проекция на плоскость, перпендикулярную этим прямым, осталась бы неизменной. Высота призмы относительно этого перпендикулярного сечения равна длине бокового ребра. Формула объёма через перпендикулярное сечение подтверждает независимость результата от конкретного выбора точек на бесконечных параллельных прямых, пока длина отложенного отрезка фиксирована.