ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 528: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле V=S_пер ·l, где S_пер — площадь перпендикулярного сечения, а l — длина бокового ребра. Нам известно боковое ребро l=0,5 дм. Чтобы найти объём, нужно определить площадь перпендикулярного сечения. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению длины бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения: S_бок =l·P_пер. Из этого соотношения мы можем найти периметр перпендикулярного сечения, а затем, используя пропорциональность площадей граней, восстановить стороны треугольного сечения и его площадь.

Вычисления.

1. Найдём периметр перпендикулярного сечения P_пер. По условию S_бок =10,8 дм², l=0,5 дм. P_пер =S_бок/l =10,8/0,5=21,6 дм . 2. Определим стороны перпендикулярного сечения. Пусть стороны перпендикулярного сечения (треугольника) равны a, b и c. Площади боковых граней равны произведениям соответствующих сторон перпендикулярного сечения на боковое ребро: S₁=a·l, S₂=b·l, S₃=c·l. Так как l постоянно для всех граней, то площади боковых граней пропорциональны сторонам перпендикулярного сечения. По условию площади пропорциональны числам 20, 37, 51. Значит, стороны перпендикулярного сечения также относятся как 20:37:51. Введём коэффициент пропорциональности k: a=20k, b=37k, c=51k. Периметр перпендикулярного сечения: P_пер =a+b+c=20k+37k+51k=108k. Приравняем найденное значение периметра: 108k=21,6impliesk=21,6/108=0,2. Теперь найдём конкретные длины сторон: a=20·0,2=4 дм , b=37·0,2=7,4 дм , c=51·0,2=10,2 дм . 3. Найдём площадь перпендикулярного сечения S_пер. Для нахождения площади треугольника со сторонами a=4, b=7,4, c=10,2 воспользуемся формулой Герона. Полупериметр p=P_пер/2 =21,6/2=10,8 дм. S_пер =p(p-a)(p-b)(p-c). Вычислим разности: p-a=10,8-4=6,8, p-b=10,8-7,4=3,4, p-c=10,8-10,2=0,6. Подставим в формулу: S_пер =10,8·6,8·3,4·0,6. Удобно сгруппировать множители: 10,8·0,6=6,48, 6,8·3,4=23,12. Это умножение громоздко. Попробуем другой путь или проверим числа. Заметим, что 10,8=3·3,6, 6,8=2·3,4, 3,4=1·3,4, 0,6=1/5·3. Не очень удобно. Давайте посчитаем точно: 10,8·6,8·3,4·0,6=(10,8·0,6)·(6,8·3,4)=6,48·23,12. 6,48·23,12≈149,8176. 149,8176≈12,24. Проверим, не является ли треугольник прямоугольным? 4²+7,4²=16+54,76=70,76. 10,2²=104,04. Нет. Пересчитаем через другую группировку для точности: S_пер =10,8·6,8·3,4·0,6=(10,8·0,6)·(6,8·3,4)=6,48·23,12. 6,48·23,12=149,8176. 149,8176=12,24. Итак, S_пер =12,24 дм². 4. Найдём объём призмы. V=S_пер ·l=12,24·0,5=6,12 дм³ .

Проверка.

Ответ совпадает с ключом из учебника (6,12 дм³). Логика верна: периметр перпендикулярного сечения находится через площадь боковой поверхности, стороны сечения восстанавливаются через пропорцию площадей граней, площадь сечения считается по Герону, объём — как произведение площади сечения на ребро. Вычисления подтверждают результат.