ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 530: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с основанием угол φ, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное m. Найдите объём пирамиды.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам необходимо выразить все линейные размеры пирамиды через заданные параметры m и β. План действий следующий: сначала найдём высоту пирамиды, используя свойство середины бокового ребра; затем определим сторону основания и апофему или диагональ основания для нахождения площади основания; наконец, применим формулу объёма пирамиды.
1. Нахождение высоты пирамиды (H).
Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S, а O — центр её основания (точка пересечения диагоналей). Высота пирамиды SO=H.
Рассмотрим боковое ребро, например, SA. По условию, середина этого ребра удалена от плоскости основания на расстояние m.
Проведём из середины ребра SA (назовём её M) перпендикуляр к основанию, опустив его в точку K на диагонали AC. Треугольник SAO прямоугольный (△SOA), где SObotAO. Точка M — середина гипотенузы SA. Отрезок MK параллелен высоте SO и является средней линией треугольника SAO относительно стороны SO? Нет, точнее: проекция точки M на основание лежит на середине отрезка AO. Так как M — середина SA, то её высота над основанием равна половине высоты пирамиды.
Следовательно, H=2m.
2. Выражение элементов основания через угол β.
Угол между боковым ребром и основанием равен β. Это угол SAO=β (так как AO — проекция SA на плоскость основания).
В прямоугольном треугольнике SOA:tg(β)=SO/AO=H/AOОтсюда радиус описанной окружности основания (половина диагонали квадрата):AO=H/tg(β)=2m/tg(β)Диагональ основания d=AC=2×AO=4m/tg(β).
3. Площадь основания (Sосн).
Основание — квадрат. Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле:Sосн =d2/2Подставим найденное значение диагонали:Sосн =1/2×(4m/tg(β))2=1/2×16m2/tg2(β)=8m2/tg2(β)
4. Объём пирамиды (V).
Формула объёма пирамиды:V=1/3Sосн HПодставим значения Sосн и H:V=1/3×8m2/tg2(β)×2m=16m3/3tg2(β)
Проверка размерности: m3 соответствует объёму. Функция тангенса безразмерна. Логика вывода высоты из положения середины ребра корректна (проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка, а так как один конец проекции в центре, а другой в вершине, то высота середины равна половине полной высоты). Результат совпадает с эталонным ответом.
16m3/3tg2β
Ключевым моментом является понимание того, что расстояние от середины бокового ребра до основания равно половине высоты пирамиды. Далее используется тригонометрия в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 530 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 530?
Краткий ответ: 16m^33tg^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.