ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 534: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Основанием четырёхугольной пирамиды является параллелограмм с высотой H. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом α. Попарно равные противоположные боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания углы β и γ. Найдите объём пирамиды.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения объёма пирамиды V=1/3Sосн H необходимо выразить площадь основания (параллелограмма) через заданные параметры. Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: Sосн =1/2d1d2sinα. Нам нужно выразить длины диагоналей d1 и d2 через высоту пирамиды H и углы наклона боковых рёбер β и γ.
Вычисление.
Пусть вершина пирамиды — S, а основание — параллелограмм ABCD. Так как противоположные боковые рёбра попарно равны (SA=SC и SB=SD), то проекция вершины S на плоскость основания совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма O. Это следует из того, что равнобедренные треугольники SAC и SBD имеют общую высоту SO, опущенную на их основания AC и BD соответственно, и эта высота падает в середины оснований, то есть в точку O.
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды SO=H, отрезками диагоналей и боковыми рёбрами. Диагональ AC состоит из двух отрезков AO и OC. В прямоугольном треугольнике SOA угол при основании равен β (так как ребро SA образует угол β с плоскостью основания). Тогда: AO=H/tanβ Следовательно, длина первой диагонали: d1=AC=2AO=2H/tanβ
Аналогично для второй диагонали BD. Ребро SB образует с плоскостью основания угол γ. В прямоугольном треугольнике SOB: BO=H/tanγ Следовательно, длина второй диагонали: d2=BD=2BO=2H/tanγ
Теперь найдём площадь основания Sосн:
Sосн =1/2d1d2sinα=1/2·(2H/tanβ)·(2H/tanγ)·sinα=2H2sinα/tanβtanγПодставим найденную площадь в формулу объёма пирамиды:
V=1/3Sосн H=1/3·2H2sinα/tanβtanγ·H=2H3sinα/3tanβtanγПроверка.
Размерность ответа: [H3] соответствует объёму. Тригонометрические функции безразмерны. Если углы β и γ стремятся к 90°, тангенсы стремятся к бесконечности, и объём стремится к нулю, что логично (пирамида вырождается в вертикальный отрезок или основание становится бесконечно малым при фиксированной высоте? Нет, при β→90° проекции рёбер стремятся к 0, значит диагонали стремятся к 0, площадь основания к 0, объём к 0). Если α→0 или 180°, синус стремится к 0, объём стремится к 0, так как параллелограмм вырождается в отрезок. Формула ведёт себя корректно.
2H3sinα/3tanβtanγ
Ключевое свойство задачи: если противоположные боковые рёбра пирамиды попарно равны, то высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания. Для параллелограмма это точка пересечения диагоналей. Далее задача сводится к выражению половин диагоналей через высоту и котангенсы углов наклона соответствующих рёбер.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 534 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 534?
Краткий ответ: 2H^3 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.