ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 536: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Для нахождения объёма тетраэдра с заданными рёбрами удобно использовать формулу для объёма тетраэдра через его рёбра или разбить тетраэдр на более простые части. В обоих случаях (а и б) мы можем рассмотреть тетраэдр как пирамиду, основание которой — равнобедренный треугольник, а вершина проецируется в определённую точку основания. Также можно воспользоваться координатным методом или формулой Тартальи-Каваллиери (обобщение Герона для тетраэдра), но геометрический подход с высотой будет нагляднее.

Случай а): Рёбра длины b имеют общие точки

Пусть ребра AB=CD=b не пересекаются? Нет, условие говорит, что они имеют общие точки . Это значит, что два ребра длины b выходят из одной вершины. Пусть это будут ребра SA=b и SB=b. Тогда остальные четыре ребра равны a: SC=a, AB=a, AC=a, BC=a.

Рассмотрим грань SAB. Она является равнобедренным треугольником со сторонами b,b,a. Основание тетраэдра — треугольник ABC со сторонами a,a,a, то есть правильный треугольник со стороной a.

Найдём высоту тетраэдра H, опущенную из вершины S на плоскость ABC. Так как SA=SB=b и SC=a, проекция вершины S на плоскость ABC лежит на пересечении геометрических мест точек. Однако проще заметить, что грани SAC и SBC являются равнобедренными треугольниками со сторонами b,a,a. Грани SAB (b,b,a) и ABC (a,a,a).

Давайте используем другой подход: разобьем тетраэдр SABC на две равные части плоскостью, проходящей через ребро SC и середину ребра AB. Но ещё проще — выразить объём через площадь основания и высоту.

Основание ABC — правильный треугольник со стороной a. Его площадь: S_ABC=3/4a²

Чтобы найти высоту h_S из вершины S до плоскости ABC, заметим, что точка S равноудалена от A и B (SA=SB=b), поэтому её проекция O на плоскость ABC лежит на срединном перпендикуляре к стороне AB. Также SC=a. Расстояние от центра правильного треугольника ABC до вершин равно R=a/3. До стороны AB расстояние r=a/23.

Это рассуждение усложняется тем, что S не обязательно проектируется в центр. Давайте применим формулу объёма тетраэдра, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны x,y,z, а противолежащие им X,Y,Z. Здесь из вершины C выходят ребра CA=a,CB=a,CS=a. То есть C — вершина, из которой идут три равных ребра a. Противолежащие им ребра: AB=a (противолежит CS?), нет. Ребра из C: CA,CB,CS. Все равны a. Значит, тетраэдр имеет вершину C, соединённую с A,B,S рёбрами длины a. А между A,B,S рёбра: AB=a, AS=b, BS=b.

Таким образом, основание ABS — равнобедренный треугольник со сторонами b,b,a. Боковые рёбра CA=CB=CS=a.

Высота тетраэдра, опущенная из C на плоскость ABS, проходит через центр описанной окружности треугольника ABS, так как CA=CB=CS.

1. Найдём радиус R_ABS описанной окружности вокруг △ABS. Площадь △ABS: высота к основанию a равна b²-(a/2)²=1/24b²-a². S_ABS=1/2·a·1/24b²-a²=a/44b²-a² По формуле R=abc/4S для сторон b,b,a: R_ABS=b·b·a/4·a/44b²-a²=ab/a4b²-a²·a?Нет. R=b²a/a4b²-a²=b²/4b²-a²

2. Высота H тетраэдра из вершины C: H=CA²-R2ABS=a²-(b²/4b²-a²)²=a²-b⁴/4b²-a²=a²(4b²-a²)-b⁴/4b²-a²=4a^2b2-a⁴-b⁴/4b²-a²

3. Объём V=1/3S_ABSH: V=1/3·a/44b²-a²·4a^2b2-a⁴-b⁴/4b²-a²=a/124a^2b2-a⁴-b⁴

Случай б): Рёбра длины b не имеют общих точек

В этом случае рёбра длины b являются скрещивающимися. Пусть AB=b и CD=b. Остальные рёбра AC=AD=BC=BD=a.

Тетраэдр обладает симметрией. Проведём плоскость, проходящую через середины рёбер AB и CD и перпендикулярную им. Или проще: рассмотрим сечение, проходящее через ребро AB и середину ребра CD. Но лучше использовать разбиение на две пирамиды или формулу для объёма тетраэдра с парами равных скрещивающихся рёбер.

Заметим, что грани ABC и ABD — равнобедренные треугольники со сторонами a,a,b. Аналогично для ACD и BCD.

Проведём высоту CM в грани ACD к основанию AD? Нет. Рассмотрим отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер AB и CD. Пусть M — середина AB, N — середина CD. Отрезок MN перпендикулярен обоим рёбрам в силу симметрии (AC=BC и AD=BD→CM⊥AB,DM⊥AB→AB⊥CMD→AB⊥MN). Аналогично CD⊥MN.

Объём тетраэдра можно вычислить по формуле: V=1/6d·l₁·l₂·sinφ где d — расстояние между скрещивающимися рёбрами (MN), l_1,l₂ — длины этих рёбер (b,b), φ — угол между ними (90^°, так как MN перпендикулярна обоим, но угол между самими рёбрами AB и CD может быть другим? В данном случае из симметрии AC=AD=BC=BD=a следует, что проекция CD на плоскость, перпендикулярную AB, совпадает с точкой? Нет. Угол между скрещивающимися рёбрами здесь не обязательно 90^°. Формула выше требует угла между направлениями рёбер. Однако есть другая формула для такого «изоскедического» тетраэдра (две пары равных скрещивающихся рёбер): V=b²/124a²-2b² Давайте выведем это.

Рассмотрим пирамиду CABD. Основание ABD — равнобедренный (a,a,b). Вершина C удалена от A,B,D на a? Нет, CA=a,CB=a,CD=b. Это не подходит под предыдущую схему.

Вернёмся к методу сечения. Плоскость CMD перпендикулярна AB. M — середина AB. CM=DM=a²-(b/2)²=1/24a²-b². Треугольник CMD — равнобедренный с основанием CD=b и боковыми сторонами 1/24a²-b². Высота MN этого треугольника (опущенная на CD) является расстоянием между скрещивающимися рёбрами AB и CD, так как AB⊥ плоскости CMD, а MN лежит в этой плоскости и перпендикулярна CD (так как MC=MD). MN=CM²-CN²=(4a²-b²/2)²-(b/2)²=4a²-b²/4-b²/4=4a²-2b²/4=1/24a²-2b²

Теперь объём тетраэдра можно представить как сумму объёмов двух пирамид с общим основанием CMD и вершинами A и B? Нет, удобнее: V=V_A-CMD+V_B-CMD. Так как AB⊥CMD, то высоты этих пирамид равны AM и MB, которые равны b/2. Площадь основания S_CMD=1/2·CD·MN=1/2·b·1/24a²-2b²=b/44a²-2b².

V=1/3S_CMD·AM+1/3S_CMD·MB=1/3S_CMD(AM+MB)=1/3S_CMD·AB V=1/3·b/44a²-2b²·b=b²/124a²-2b²

Проверка:

Размерности совпадают: в первом случае [L]²·[L]=[L]³, во втором [L]²·[L]=[L]³. При a=b (правильный тетраэдр) оба случая должны дать один результат. а) a/124a⁴-a⁴-a⁴=a/122a⁴=a³2/12. б) a²/124a²-2a²=a²/122a²=a³2/12. Результаты совпадают, что подтверждает правильность вывода.