ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 535: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма пирамиды V=1/3S_осн h необходимо определить площадь основания и высоту. Основанием является ромб со стороной a. Две боковые грани перпендикулярны основанию, что позволяет найти проекцию вершины пирамиды на плоскость основания и выразить высоту через двугранные углы θ. Угол φ между этими перпендикулярными гранями связан с углом ромба.

Вычисление.

Пусть основание — ромб ABCD со стороной a. Пусть боковые грани SAB и SAD перпендикулярны плоскости основания ABC. Тогда ребро SA перпендикулярно плоскости основания, то есть SA — высота пирамиды (h=SA).

Двугранный угол между гранями SAB и SAD равен углу BAD в основании (так как грани перпендикулярны основанию). По условию этот угол тупой и равен φ. Значит, ∠BAD=φ.

Площадь основания (ромба) равна: S_осн =a²sinφ

Рассмотрим две другие боковые грани: SBC и SDC. Они составляют с плоскостью основания двугранные углы θ. Проведём в основании высоты из точки A к сторонам BC и CD. Так как ABCD — ромб, эти высоты равны между собой. Обозначим длину этой высоты за d. Из треугольника ABH (где H — основание перпендикуляра из A на BC): d=ABsin(∠ABC) Так как соседние углы ромба в сумме дают 180^°, то ∠ABC=180^°-φ. Следовательно, sin(∠ABC)=sin(180^°-φ)=sinφ. Тогда расстояние от точки A до стороны BC равно: d=asinφ

По теореме о трёх перпендикулярах, так как SA⊥(ABC), а AH⊥BC, то наклонная SH⊥BC. Угол SHA является линейным углом двугранного угла при ребре BC. По условию ∠SHA=θ. В прямоугольном треугольнике SAH: SA=AH·tanθ=d·tanθ=asinφtanθ Это и есть высота пирамиды h.

Теперь найдём объём: V=1/3S_осн h=1/3(a²sinφ)(asinφtanθ)=1/3a³sin²φtanθ

Проверка.

Размерность ответа: [a]³ соответствует объёму. Тригонометрические функции безразмерны. Логика расположения вершины над острым углом ромба (если бы φ был острым, проекция была бы внутри или на границе, но здесь дано, что угол между перпендикулярными гранями тупой, значит, сам угол ромба тупой, и вершина проецируется в вершину тупого угла, что корректно для построения высот к противоположным сторонам). Формула совпадает с ожидаемым видом.