ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 538: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Для каждого пункта нам нужно выразить объём цилиндра V=πR²H через заданные величины. Мы будем использовать формулы площади боковой поверхности S_б =2πRH, площади основания Q=πR², а также геометрические свойства осевого сечения (прямоугольник со сторонами 2R и H).

а) Площадь боковой поверхности равна S, площадь основания равна Q.

Известно, что Q=πR². Отсюда выразим радиус: R=Q/π. Также дано S=2πRH. Выразим высоту H: H=S/2πR Подставим выражение для R в формулу высоты: H=S/2πQ/π=S/2πQ Теперь найдём объём V=πR²H. Заметим, что πR² — это как раз Q. Тогда: V=Q·H=Q·S/2πQ=SQ/2π=S/2Q/π

б) Осевое сечение является квадратом, высота равна h.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами 2R (диаметр основания) и H (высота). Если это квадрат, то его стороны равны: 2R=H По условию высота H=h. Следовательно: 2R=himpliesR=h/2 Вычислим объём: V=πR²H=π(h/2)²·h=πh²/4·h=πh³/4

в) Осевое сечение является квадратом, площадь полной поверхности равна S.

Снова используем условие квадрата осевого сечения: H=2R. Формула площади полной поверхности цилиндра: S=2πR²+2πRH Подставим H=2R в эту формулу: S=2πR²+2πR(2R)=2πR²+4πR²=6πR² Отсюда выразим R²: R²=S/6πimpliesR=S/6π Найдём высоту H: H=2R=2S/6π=4S/6π=2S/3π Теперь вычислим объём V=πR²H. Подставим найденные значения: V=π·S/6π·2S/3π=S/62S/3π

Проверка:

В пункте а) размерности совпадают: [S]=L², [Q]=L², результат L³. В пунктах б) и в) зависимости от линейных размеров кубические, что соответствует объёму. Ответы согласуются с ключом.