ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 539: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что объёмы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства утверждения необходимо выразить объём цилиндра через его радиус и высоту, а также использовать формулу площади боковой поверхности. Затем, приравняв площади боковых поверхностей двух цилиндров, нужно найти отношение их высот и подставить его в отношение объёмов. В итоге мы должны получить, что это отношение равно отношению радиусов.
Вычисление.
Обозначим параметры первого цилиндра: радиус r1, высота h1. Параметры второго цилиндра: радиус r2, высота h2. Формула объёма цилиндра имеет вид: V=πr2h Следовательно, объёмы наших цилиндров равны: V1=πr21h1, V2=πr22h2 Формула площади боковой поверхности цилиндра: Sбок =2πrh По условию задачи площади боковых поверхностей равны, то есть: 2πr1h1=2πr2h2 Сократив обе части на 2π, получаем связь между высотами и радиусами: r1h1=r2h2impliesh1/h2=r2/r1 Теперь найдём отношение объёмов: V1/V2=πr21h1/πr22h2=r21/r22·h1/h2 Подставим найденное ранее выражение для отношения высот h1/h2=r2/r1: V1/V2=r21/r22·r2/r1=r1·r1/r2·r2·r2/r1=r1/r2 Таким образом, мы получили, что отношение объёмов равно отношению радиусов.
Проверка.
Рассмотрим конкретный пример для наглядности. Пусть первый цилиндр имеет радиус r1=2 и высоту h1=3. Его площадь боковой поверхности S1=2π·2·3=12π. Объём V1=π·22·3=12π. Пусть второй цилиндр имеет радиус r2=4. Чтобы площади боковых поверхностей были равны (S2=12π), его высота должна быть такой, чтобы 2π·4·h2=12π, откуда 8πh2=12π, значит h2=1.5. Объём второго цилиндра V2=π·42·1.5=π·16·1.5=24π. Отношение объёмов: V1/V2=12π/24π=1/2. Отношение радиусов: r1/r2=2/4=1/2. Результаты совпадают, что подтверждает правильность вывода.
Доказано: V1/V2=r1/r2
Задача требует алгебраического вывода. Ключевой момент — использование условия равенства площадей боковых поверхностей для замены отношения высот на обратное отношение радиусов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 539 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 539?
Краткий ответ: Доказано: V_1V_2 = r_1r_2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.