ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 542: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Основанием пирамиды является ромб со стороной a и острым углом φ. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол θ. Найдите объём конуса.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы найти объём конуса, нам необходимо определить радиус его основания r и высоту H. Формула объёма конуса: V=1/3πr2H.
Конус вписан в пирамиду. Это означает, что основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды (ромб), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса равен радиусу вписанной в ромб окружности, а высота конуса равна высоте пирамиды.
Вычисление радиуса основания (r).
Основание пирамиды — ромб со стороной a и острым углом φ. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты этого ромба.
Рассмотрим треугольник, образованный стороной ромба и высотой, опущенной на противоположную сторону. Высота ромба hромба вычисляется как произведение стороны на синус угла:
hромба =asinφ.Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, то радиус r равен:
r=hромба/2 =asinφ/2.Вычисление высоты конуса (H).
По условию, образующая конуса составляет с плоскостью основания угол θ. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса H, радиусом основания r и образующей, тангенс угла наклона образующей к основанию равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (радиусу):
tanθ=H/r.Отсюда выразим высоту:
H=rtanθ=asinφ/2tanθ.Расчёт объёма.
Подставим найденные значения r и H в формулу объёма конуса:
V=1/3πr2H=1/3π(asinφ/2)2·(asinφ/2tanθ).Возведём радиус в квадрат:
r2=a2sin2φ/4.Умножим на высоту:
V=1/3π·a2sin2φ/4·asinφtanθ/2.Сгруппируем множители:
V=πa3sin3φtanθ/3·4·2=πa3sin3φtanθ/24.Проверка.
Размерность ответа: [a3] соответствует объёму, тригонометрические функции безразмерны. Логика связи геометрических элементов (вписанная окружность в ромб -> радиус; угол наклона образующей -> высота через тангенс) корректна для задачи на вписанный конус в пирамиду с правильным основанием или симметричным расположением вершины над центром вписанной окружности (что подразумевается фразой "конус вписан").
πa3/24sin3φtanθ
Задача требует знания свойств вписанной окружности в ромб (радиус равен половине высоты ромба) и определения угла между прямой и плоскостью. Ключевые шаги: выражение радиуса через сторону и угол ромба, выражение высоты конуса через радиус и угол наклона образующей, подстановка в формулу объёма.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 542 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 542?
Краткий ответ: a^324 ^3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.