ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 520: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как x и y, а боковое ребро (высоту) как h. По условию h=a. Сечение, проходящее через две стороны разных оснований, представляет собой прямоугольник со сторонами a и диагональю основания d_осн. Так как это сечение является квадратом, то его стороны равны: d_осн =a. Площадь этого квадрата равна Q, следовательно, Q=a². Однако в условии сказано, что площадь квадрата равна Q, а не обязательно a². Давайте пересмотрим формулировку. "Сечение... является квадратом с площадью Q". Значит, сторона квадрата равна 1/? Нет, сторона квадрата равна 1/?. Если площадь квадрата Q, то его сторона равна 1/?. Сторона квадрата равна 1/?. Пусть сторона квадрата равна k. Тогда k²=Q, откуда k=1/?. В данном случае одна из сторон квадрата — это боковое ребро a. Значит, вторая сторона квадрата (диагональ основания) также равна a. Но тогда площадь квадрата была бы a². Если же площадь квадрата задана как Q, и одна сторона равна a, то другая сторона должна быть равна Q/a. Но так как это квадрат, все стороны равны. Возникает противоречие, если мы считаем, что сторона квадрата строго равна a.

Перечитаем внимательно: "Боковое ребро ... равно a. Сечение ... является квадратом с площадью Q". Это означает, что сечение проходит через боковое ребро? Нет, "через две стороны разных оснований". Обычно такое сечение проходит через диагонали оснований или через противоположные стороны. Если сечение проходит через две параллельные стороны оснований, то оно является прямоугольником со сторонами a и стороной основания. Если оно квадрат, то сторона основания равна a. Тогда площадь Q=a². Но ответ содержит Q и a отдельно. Значит, речь идет о сечении, проходящем через диагонали ? Или через сторону одного основания и противоположную сторону другого?

Рассмотрим стандартную трактовку таких задач. Сечение, проходящее через две стороны разных оснований, обычно имеет в качестве одной стороны боковое ребро a, а в качестве другой — диагональ основания d. Если это сечение — квадрат, то d=a. Тогда площадь Q=a². Ответ a1/? не сходится.

Давайте предположим другую геометрию. Возможно, сечение проходит не через боковое ребро, а через две противоположные стороны оснований? Тогда сечение — это прямоугольник со сторонами a и стороной основания b. Если это квадрат, то b=a. Площадь Q=a². Объём V=x1/?y1/?a.

Посмотрим на ключ: a1/?(Q²-Qa²). Подкоренное выражение должно быть положительным. Q>a². Это значит, что сторона квадрата больше a. Но одна сторона сечения равна a (боковое ребро). Как может быть квадрат со стороной a и площадью Q>a²? Никак.

Значит, сечение НЕ проходит через боковое ребро как сторону. Сечение проходит через две стороны оснований. Допустим, это сечение, проходящее через диагональ нижнего основания и диагональ верхнего основания? Тогда это диагональное сечение. Его стороны: высота a и диагональ основания d. Если это квадрат, то d=a, Q=a². Опять то же самое.

А что если сечение проходит через сторону нижнего основания и не соответствующую ей сторону верхнего? Например, через сторону AB и сторону C₁D₁. Тогда это сечение — параллелограмм. Для прямоугольного параллелепипеда это будет прямоугольник только если проекция совпадает.

Давайте разберем ключевую подсказку: Q²-Qa². Вынесем Q: Q(Q-a²). Корень из этого умножен на a.

Возможно, в условии опечатка или специфическая формулировка "сечение через две стороны" подразумевает, что эти стороны не являются сторонами самого сечения напрямую, а определяют его положение?

Попробуем другой подход. Пусть стороны основания x и y. Диагональ основания d=1/?(x²+y²).

Если сечение является квадратом с площадью Q, то его сторона равна 1/?Q.

Одна из сторон этого сечения лежит в плоскости основания? Нет, сечение пересекает основания по отрезкам. Эти отрезки — хорды окружностей? Нет, это стороны многоугольников.

Стандартная задача: Сечение проходит через диагональ основания и перпендикуляр к ней?

Вернемся к тексту учебника Атанасяна или Погорелова. Задача 520 (§4).

Формулировка: "Боковое ребро ... равно a. Сечение, проведённое через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q."

Если сечение проходит через сторону AD нижнего основания и сторону B₁C₁ верхнего основания, то это сечение ADC₁B₁. Это прямоугольник со сторонами AD=x и AA₁=a? Нет, AB₁ — диагональ боковой грани.

Сечение ABC₁D₁ (проходит через AB и C₁D₁). Стороны сечения: AB=x и BC₁=1/?(y²+a²). Если это квадрат, то x=1/?(y²+a²) и площадь Q=x².

Тогда x=1/?Q.

Из равенства x²=y²+a² выразим y: y²=x²-a²=Q-a². Отсюда y=1/?(Q-a²).

Объём параллелепипеда V=x1/?y1/?a.

Подставим найденные значения:

Это полностью совпадает с ключом!

Вычисление.

1. Пусть стороны основания параллелепипеда равны x и y, а боковое ребро (высота) равно a.
2. Сечение, проведённое через две стороны разных оснований (например, через сторону AB длины x и противоположную ей сторону C₁D₁), представляет собой прямоугольник ABC₁D₁.
3. Стороны этого прямоугольника: одна равна стороне основания x, другая равна диагонали боковой грани, прилегающей к стороне y. Длина этой диагонали равна 1/?(y²+a²).
4. По условию это сечение является квадратом. Следовательно, его стороны равны: x=1/?(y²+a²).
5. Площадь квадрата равна Q. Значит, Q=x², откуда сторона квадрата x=1/?Q.
6. Подставим x в уравнение равенства сторон: (1/?Q)²=y²+a²1/?Q=y²+a².
7. Выразим вторую сторону основания y: y²=Q-a², откуда y=1/?(Q-a²).
8. Найдём объём параллелепипеда по формуле V=S_осн 1/?h=x1/?y1/?a.
9. Подставляем значения: V=1/?Q1/?(Q-a²)1/?a.
10. Преобразуем выражение под корнем: V=a1/?(Q(Q-a²))=a1/?(Q²-Qa²).

Проверка.

Размерности верны: Q — площадь (L²), a — длина (L). Выражение под корнем Q²-Qa² имеет размерность L⁴. Корень даёт L². Умножение на a (L) даёт L³, что соответствует объёму.

Логика построения сечения корректна для прямоугольного параллелепипеда: сечение через противоположные стороны оснований действительно является прямоугольником, одна сторона которого равна стороне основания, а другая — диагонали смежной боковой грани. Условие "квадрат" связывает эти величины.