ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 514: Объём шара и площадь сферы

План решения.

При вращении кругового сектора вокруг одного из его ограничивающих радиусов образуется шаровой сектор. Объём такого тела можно найти как сумму объёмов двух тел: конуса и шарового сегмента (или используя формулу для объёма шарового сектора напрямую). Однако более наглядный путь — рассмотреть сечение полученного тела плоскостью, проходящей через ось вращения. В этом сечении мы увидим тот же самый круговой сектор с углом α=30^° и радиусом R. Нам нужно вычислить объём тела вращения этого сектора.

Объём шарового сектора, образованного вращением кругового сектора с углом α, равен сумме объёма конуса с высотой h₁=Rcosα и радиусом основания r=Rsinα и объёма шарового сегмента с высотой h₂=R(1-cosα) и тем же радиусом основания r.

Вычисления.

Дано: угол сектора α=30^°, радиус R.

Найдём параметры составляющих:

• Радиус основания конуса и сегмента: r=Rsin30^°=R·1/2=R/2.
• Высота конуса: h₁=Rcos30^°=R·3/2=R3/2.
• Высота шарового сегмента: h₂=R-h₁=R-R3/2=R(1-3/2)=R(2-3)/2.

Объём конуса V_к:

Объём шарового сегмента V_сегм:

Подставим значения r и h₂. Для упрощения вычислений заметим, что существует готовая формула для объёма шарового сектора, образованного вращением сектора с углом α: V=2/3πR³(1-cosα) Проверим это утверждение. Формула объёма шарового сектора обычно записывается как V=2/3πR²H, где H — высота соответствующего шарового сегмента. Но здесь важно не путать понятия. Шаровой сектор состоит из конуса и сегмента. Давайте воспользуемся методом интегрирования или известной геометрической формулой для тела вращения сектора. Объём тела, полученного вращением кругового сектора с углом α вокруг радиуса, равен: V=2/3πR³(1-cosα) Это стандартная формула для объёма шарового сектора (как части шара, отсекаемой конической поверхностью). Подставим α=30^°: cos30^°=3/2 V=2/3πR³(1-3/2)=2/3πR³(2-3/2)=1/3πR³(2-3)=(2-3)/3πR³

Проверка результата.

Сравним с суммой объёмов конуса и сегмента, которую мы начали считать выше, чтобы убедиться в корректности формулы. V_к =3/24πR³. Для сегмента: h₂=R(2-3)/2, r²=R²/4. 3r²+h22=3R²/4+R²(2-3)²/4=R²/4[3+(4-43+3)]=R²/4[10-43]=R²/2[5-23]. V_сегм =1/6π·R(2-3)/2·R²(5-23)/2=πR³/24(2-3)(5-23). Раскроем скобки: (2-3)(5-23)=10-43-53+6=16-93. V_сегм =πR³/24(16-93)=2πR³/3-33πR³/8? Нет, давайте аккуратно: V_сегм =16πR³/24-93πR³/24=2πR³/3-33πR³/8. Теперь сложим V_к и V_сегм: V_к =3πR³/24. V_total=2πR³/3-93πR³/24+3πR³/24=2πR³/3-83πR³/24=2πR³/3-3πR³/3=(2-3)πR³/3. Результаты совпадают. Ответ верен.