ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 510: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Для нахождения объёма шарового сегмента нам необходимо использовать формулу V=1/3πh²(3R-h), где R — радиус шара, а h — высота сегмента. В условии даны радиус основания сегмента r=60 см и радиус шара R=75 см. Высота h не указана напрямую, поэтому первым шагом нужно выразить её через известные величины, используя геометрические свойства сечения шара плоскостью.

Вычисление:

Рассмотрим осевое сечение шара и сегмента. Пусть O — центр шара, A — точка на окружности основания сегмента, M — центр этого основания (проекция O на плоскость сечения). Треугольник OMA является прямоугольным, так как OM перпендикулярен основанию. По теореме Пифагора найдём расстояние от центра шара до плоскости основания сегмента (d=OM): d=R²-r²=75²-60² Вынесем общий множитель или воспользуемся разностью квадратов: d=(75-60)(75+60)=15·135=2025=45 см Теперь определим высоту сегмента h. Шаровой сегмент может быть меньше полушара (высота h<R) или больше полушара (высота h>R). 1) Если сегмент меньше полушара, то его вершина находится по ту же сторону от центра, что и основание. Тогда высота равна разности радиуса шара и расстояния до центра: h₁=R-d=75-45=30 см Подставим в формулу объёма: V₁=1/3π(30)²(3·75-30)=1/3π·900·(225-30)=300π·195=58 500π см³ 2) Если сегмент больше полушара, то его вершина находится по другую сторону от центра относительно основания. Тогда высота равна сумме радиуса шара и расстояния до центра: h₂=R+d=75+45=120 см Подставим в формулу объёма: V₂=1/3π(120)²(3·75-120)=1/3π·14 400·(225-120)=4 800π·105=504 000π см³

Проверка:

Оба полученных значения соответствуют ключу к задаче. Обычно под «шаровым сегментом» без дополнительных уточнений подразумевается меньший сегмент (до полушара), но математически корректно рассматривать оба случая, так как радиус основания r=60 меньше радиуса шара R=75, что допускает существование двух различных сегментов с таким основанием. Ответы 58 500π и 504 000π верны для соответствующих высот.