10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 509: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 508 510 →

Условие

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму одного шара?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Общая часть двух равных шаров с радиусом R, где центр одного лежит на поверхности другого, представляет собой два равных шаровых сегмента. Высота каждого такого сегмента равна половине расстояния между центрами, то есть h=R/2. Нам нужно найти отношение объёма этих двух сегментов к объёму всего шара.

Вычисление.

Формула объёма шарового сегмента: V_сегм =πh²(R-h/3)

Подставим h=R/2:

V_сегм =π(R/2)²(R-R/2/3)=πR²/4(R-R/6)=πR²/4·5R/6=5πR³/24

Объём общей части состоит из двух таких сегментов:

V_общ =2·V_сегм =2·5πR³/24=5πR³/12

Объём одного шара равен:

V_шар =4/3πR³=16πR³/12

Найдём искомое отношение:

V_общ/V_шар =5πR³/12/16πR³/12=5/16

Проверка.

Логично, что общая часть меньше половины объёма шара (0.5), так как пересечение не покрывает даже полшара (центр второго шара на границе первого). Значение 5/16=0.3125 удовлетворяет этому условию. Расчёты выполнены верно.

Ответ

5:16

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 509 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 509?

Краткий ответ: 5:16.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.