ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 506: Объём шара и площадь сферы

План решения. Чтобы ответить на вопрос, переполнит ли мороженое стаканчик, нужно сравнить объём двух полушарий мороженого с объёмом конического стаканчика. Если объём мороженого меньше или равен объёму стакана, то оно не переполнит его. В противном случае — переполнит.

Вычисление объёма стаканчика. Стаканчик имеет форму конуса. Его глубина (высота) h=12 см, а диаметр верхней части d=5 см, значит радиус основания r=5/2=2,5 см. Формула объёма конуса: V_кон =1/3πr²h Подставим значения: V_кон =1/3·π·(2,5)²·12=1/3·π·6,25·12=4·6,25·π=25π см³

Вычисление объёма мороженого. Мороженое представлено двумя полушариями диаметром 5 см. Радиус каждого полушария R=2,5 см. Объём одного шара радиуса R равен 4/3πR³, следовательно, объём одного полушария равен половине этого значения: V_{полушария} =1/2·4/3πR³=2/3πR³ Так как у нас два таких полушария, их суммарный объём равен объёму одного полного шара того же радиуса: V_морож =2·V_{полушария} =4/3πR³ Подставим R=2,5: V_морож =4/3·π·(2,5)³=4/3·π·15,625=62,5/3π≈20,83π см³

Проверка и вывод. Сравним полученные объёмы. Объём стаканчика равен 25π см³, а объём мороженого равен 62,5/3π см³. Приведём к общему знаменателю для удобства сравнения: 25π=75/3π. Поскольку 62,5/3π<75/3π, то есть 20,83π<25π, объём мороженого меньше объёма стаканчика. Следовательно, мороженое не переполнит стаканчик.