ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 502: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения площади осевого сечения и объёма усечённого конуса нам потребуются радиусы его оснований. Обозначим радиусы верхнего и нижнего оснований как r и R. Мы знаем высоту h, образующую l и площадь боковой поверхности S. Используем формулу площади боковой поверхности усечённого конуса S=π(R+r)l, чтобы найти сумму радиусов (R+r). Затем, используя связь между высотой, образующей и разностью радиусов в прямоугольном треугольнике (l²=h²+(R-r)²), найдём произведение или отдельно R и r, если это необходимо для объёма, либо выразим нужные величины через известные параметры.

Вычисление.

1. Найдём сумму радиусов оснований из формулы боковой поверхности:

S=π(R+r)limpliesR+r=S/πl

2. Площадь осевого сечения усечённого конуса — это равнобедренная трапеция с основаниями 2R и 2r и высотой h. Формула площади трапеции:

S_сеч =2R+2r/2·h=(R+r)h Подставим найденное значение суммы радиусов:

S_сеч =S/πl·h=Sh/πl Это совпадает с первым пунктом ключа.

3. Теперь найдём объём усечённого конуса. Формула объёма:

V=1/3πh(R²+Rr+r²) Нам нужно выразить выражение R²+Rr+r² через данные задачи. Заметим, что:

R²+Rr+r²=(R+r)²-Rr Также известно соотношение из теоремы Пифагора для осевого сечения (проекция образующей на основание):

(R-r)²=l²-h² Раскроем скобки:

R²-2Rr+r²=l²-h² Мы знаем (R+r)²=R²+2Rr+r². Вычтем из этого уравнения предыдущее:

(R+r)²-(R-r)²=4Rr Отсюда:

Rr=(R+r)²-(l²-h²)/4 Теперь вернёмся к выражению для объёма. Удобнее использовать тождество:

R²+Rr+r²=3(R+r)²+(R-r)²/4 Проверим это тождество: правая часть равна 3(R²+2Rr+r²)+(R²-2Rr+r²)/4=4R²+4Rr+4r²/4=R²+Rr+r². Верно.

Подставим известные значения:

R+r=S/πl, (R-r)²=l²-h² R²+Rr+r²=3(S/πl)²+(l²-h²)/4=3S²/π²l²+l²-h²/4 Теперь подставим это в формулу объёма:

V=1/3πh·3S²/π²l²+l²-h²/4=πh/12(3S²/π²l²+l²-h²) Раскроем скобки, чтобы привести к виду из ключа:

V=πh/12(l²-h²+3S²/π²l²) Или можно записать как:

V=1/12πh(l²-h²+3S²/π²l²) Сравним с ключом: (1/12)πh(l²-h²+3S²/π^2l2). Выражения идентичны.

Проверка.

Размерности ответов корректны. Для площади сечения: [S]=L², [h]=L, [l]=L, результат L²·L/L=L². Для объёма: [h]=L, [l²]=L², [S²/l²]=L⁴/L²=L², результат L·L²=L³. Логика вывода формул опирается на стандартные геометрические соотношения для усечённого конуса.