ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 499: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Используя формулу объёма конуса, найдём радиус основания r.
• По теореме Пифагора вычислим длину образующей конуса l.
• Составим пропорцию между длиной дуги развёртки (равной длине окружности основания) и длиной окружности сектора с радиусом l, чтобы найти угол сектора β.

Вычисление:

1. Формула объёма конуса: V=1/3πr²h

Подставим известные значения (V=324π, h=12):

324π=1/3πr²·12

324π=4πr²

Разделим обе части на 4π:

r²=81⇒r=9 см

2. Найдём образующую l. В осевом сечении конуса образуется прямоугольный треугольник с катетами h и r и гипотенузой l:

l=r²+h²=9²+12²=81+144=225=15 см

3. Развёртка боковой поверхности конуса — это круговой сектор радиуса l=15. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса:

L_arc=2πr=2π·9=18π

Длина дуги сектора также выражается через его угол β (в градусах) и радиус l:

L_arc=β/360^°·2πl

Приравняем два выражения для длины дуги:

18π=β/360^°·2π·15

Сократим на 2π:

9=β/360^°·15

Выразим β:

β=9·360^°/15=3240^°/15=216^°

Проверка:

Если угол сектора 216^°, то отношение угла к полному кругу равно 216/360=0.6. Это должно быть равно отношению радиуса основания к образующей: r/l=9/15=0.6. Равенство выполняется, решение верно.