10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 495: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Вера Лапина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 494 496 →

Условие

Высота конуса равна 5 см. Плоскость, параллельная основанию, пересекает конус на расстоянии 2 см от вершины. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего отсекаемого конуса равен 24 см³.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Задача сводится к использованию свойства подобия тел. Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, который подобен исходному большому конусу. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих линейных размеров (в данном случае — высот). Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: V_мал/V_больш =k³. Зная объём малого конуса и его высоту, а также высоту большого конуса, мы можем найти объём исходного конуса.

Вычисление.

1. Определим высоты конусов. Высота исходного (большого) конуса: H=5 см. Высота отсекаемого (меньшего) конуса: h=2 см (так как плоскость пересекает конус на расстоянии 2 см от вершины).

2. Найдём коэффициент подобия k. k=h/H=2/5

3. Запишем соотношение объёмов. Пусть V_мал — объём меньшего конуса, V_больш — объём исходного конуса. V_мал/V_больш =k³=(2/5)³=8/125

4. Выразим и вычислим объём исходного конуса. По условию V_мал =24 см³. 24/V_больш =8/125 V_больш =24·125/8 Сократим дробь: 24:8=3. V_больш =3·125=375 см³

Проверка.

Проверим логику расчёта. Если высота уменьшается в 2,5 раза (5/2), то объём должен уменьшиться в (2,5)³=15,625 раз. Или наоборот, если малый конус имеет объём 24, то большой должен быть больше в 125/8 раз. 24·15,625=375. Расчёт верен. Единицы измерения совпадают (см³). Ответ согласуется с ожидаемым порядком величин для конуса высотой 5 см.

Ответ

375 см³

Использовано свойство подобия конусов: отношение объёмов равно кубу отношения высот.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 495 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 495?

Краткий ответ: 375 см³.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.