ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 491: Объём конуса

План решения:

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой V=1/3h(S₁+S₂+S₁S₂), где S₁ и S₂ — площади оснований, а h — высота. Сначала выразим катеты оснований через гипотенузы m и n. Затем найдём высоту h, используя условие о том, что третья боковая грань составляет с основанием угол φ. Наконец, подставим все значения в формулу объёма.

Вычисление:

1. Основаниями являются равнобедренные прямоугольные треугольники. Пусть катеты большего основания равны a, а меньшего — b. По теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника: a²+a²=m²⇒2a²=m²⇒a=m/2. Аналогично для меньшего основания: b=n/2.

2. Найдём площади оснований: S₁=1/2a²=1/2·m²/2=m²/4 S₂=1/2b²=1/2·n²/2=n²/4

3. Определим высоту пирамиды h. Две боковые грани перпендикулярны основанию. Это означает, что проекцией вершины верхнего основания на плоскость нижнего является точка пересечения продолжений катетов (или сама вершина прямого угла, если рассматривать усечение). В данном случае, так как грани, содержащие катеты, перпендикулярны основанию, то ребро, соединяющее вершины прямых углов оснований, является высотой пирамиды. Третья боковая грань проходит через гипотенузы. Угол между этой гранью и основанием равен φ. Проведём апофему этой грани из середины гипотенузы верхнего основания к середине гипотенузы нижнего основания? Нет, проще рассмотреть сечение, проходящее через высоты треугольников-оснований. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть H₁ — высота нижнего основания к гипотенузе m, тогда H₁=m/2. Пусть H₂ — высота верхнего основания к гипотенузе n, тогда H₂=n/2. Разность этих высот (проекция наклонной боковой грани на основание) равна d=H₁-H₂=m-n/2. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды h, отрезком d и наклонной боковой гранью, имеем связь: tanφ=h/d. Отсюда высота пирамиды: h=d·tanφ=m-n/2tanφ

4. Подставим найденные величины в формулу объёма: V=1/3h(S₁+S₂+S₁S₂) Сначала упростим выражение в скобках: S₁+S₂+S₁S₂=m²/4+n²/4+m²/4·n²/4=m²/4+n²/4+mn/4=1/4(m²+mn+n²) Теперь подставим h и сумму площадей: V=1/3·(m-n/2tanφ)·(1/4(m²+mn+n²)) Перемножим константы: 1/3·1/2·1/4=1/24. Используем формулу разности кубов (m-n)(m²+mn+n²)=m³-n³. V=1/24(m³-n³)tanφ

Проверка:

Размерность ответа: [L³], что соответствует объёму. При m=n объём должен быть равен нулю, что верно по формуле (m³-n³=0). При увеличении угла φ до 90^° тангенс стремится к бесконечности, что геометрически соответствует росту высоты при фиксированной проекции, хотя физически это предельный случай. Формула согласуется с ключом.