ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 490: Объём конуса

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой V=1/3H(S₁+S₂+S₁S₂), где S₁ и S₂ — площади оснований, а H — высота пирамиды. Сначала вычислим площади оснований.

Основаниями являются правильные треугольники со сторонами a и 0,5a. Площадь правильного треугольника со стороной x равна x²3/4.
Площадь большего основания: S₁=a²3/4.
Площадь меньшего основания: S₂=(0,5a)²3/4=0,25a²3/4=a²3/16.

Теперь найдём высоту H. Для этого рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы боковых граней. Это равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равна апофеме l=a, а основания равны апофемам оснований пирамиды.
Апофема правильного треугольника со стороной x равна m=x3/6.
Апофема большего основания: m₁=a3/6.
Апофема меньшего основания: m₂=0,5a3/6=a3/12.

Разность проекций боковой стороны (апофемы) на основание трапеции равна разности апофем оснований: d=m₁-m₂=a3/6-a3/12=2a3-a3/12=a3/12.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой H, апофемой l и отрезком d: H²=l²-d².
H²=a²-(a3/12)²=a²-3a²/144=a²-a²/48=47a²/48.
Отсюда H=47a²/48=a47/43=a141/12.

Подставим найденные значения в формулу объёма. Сначала упростим выражение под корнем и сумму площадей:
S₁S₂=a²3/4·a²3/16=3a⁴/64=a²3/8.
S₁+S₂+S₁S₂=a²3/4+a²3/16+a²3/8.
Приведём к общему знаменателю 16:
=4a²3+a²3+2a²3/16=7a²3/16.

Теперь вычислим объём:
V=1/3H·7a²3/16=1/3·a141/12·7a²3/16.
Заметим, что 141·3=423=9·47=347.
V=1/3·a·347/12·7a²/16=a47/12·7a²/16=7a³47/192.