ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 487: Объём конуса

План решения:

• Объём пирамиды вычисляется по формуле V=1/3S_осн h, где S_осн — площадь основания (ромба), а h — высота пирамиды.
• Высота пирамиды дана: h=1,5 см. Нам нужно найти площадь ромба.
• Для нахождения площади ромба используем условие о двугранных углах при основании. Если вершина пирамиды проектируется в центр симметрии ромба (пересечение диагоналей), то проекция апофемы на основание совпадает с перпендикуляром, опущенным из центра ромба на его сторону.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание. Угол между апофемой и плоскостью основания равен двугранному углу при основании, то есть 45^°.

Вычисление:

1. Пусть O — центр ромба, M — середина стороны ромба, S — вершина пирамиды. Тогда SO — высота пирамиды (SO=1,5 см), SM — апофема, OM — проекция апофемы на основание. Треугольник SOM прямоугольный (∠SOM=90^°). По условию, двугранный угол при ребре основания равен 45^°, значит, ∠SMO=45^°.
2. В прямоугольном треугольнике SOM катет OM можно найти через тангенс угла или свойства равнобедренного прямоугольного треугольника: OM=SO·ctg(45^°) Так как ctg(45^°)=1, то: OM=1,5·1=1,5 см
3. OM — это расстояние от центра ромба до его стороны. Для любого параллелограмма (в том числе ромба) площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. В ромбе радиус вписанной окружности r равен расстоянию от центра до стороны, то есть r=OM=1,5 см. Сторона ромба a=6 см. Периметр P=4a=24 см. Площадь ромба: S_осн =p·r=P/2·OM=24/2·1,5=12·1,5=18 см² (Альтернативный способ: Площадь ромба также равна S=a·H_ромба, где H_ромба — высота ромба. Так как центр делит высоту пополам, то H_ромба =2·OM=3 см. Тогда S=6·3=18 см²).
4. Теперь найдём объём пирамиды: V=1/3S_осн h=1/3·18·1,5 V=6·1,5=9 см³

Проверка:

Логика решения основана на стандартном свойстве правильной пирамиды (или пирамиды, у которой боковые грани наклонены под одним углом к основанию): высота падает в центр вписанной окружности основания. Расстояние от центра до стороны (OM) связано с высотой (SO) и углом наклона (α) соотношением OM=h·ctgα. При β=45^° это даёт OM=h. Площадь ромба через радиус вписанной окружности r=OM и сторону a: S=2ar. Объём V=1/3(2ah)h=2/3ah². Подставим числа: 2/3·6·(1,5)²=4·2,25=9. Результат совпадает с ключом.