ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 483: Объём конуса
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения объёма и площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды необходимо определить её основные линейные размеры: сторону основания a, высоту пирамиды H и апофему боковой грани l. Мы знаем боковое ребро b=13 см и диаметр вписанной окружности d=6 см. Из диаметра найдём радиус вписанной окружности r, который равен высоте треугольника, образованного центром основания и стороной многоугольника (апофеме основания). Далее, используя свойства правильного шестиугольника, выразим сторону основания через r. Затем по теореме Пифагора найдём высоту пирамиды H из прямоугольного треугольника с катетами R (радиус описанной окружности) и гипотенузой b. Апофему пирамиды l найдём из прямоугольного треугольника с катетами r и H. Наконец, применим формулы объёма V=1/3Sосн H и площади боковой поверхности Sбок =1/2Pосн l.
Вычисления.
- Радиус вписанной окружности в основание: r=d/2=6/2=3 см .
- В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной a соотношением r=a3/2. Отсюда найдём сторону основания: a=2r/3=6/3=23 см .
- Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне: R=a=23 см .
- Найдём высоту пирамиды H. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и боковым ребром. По теореме Пифагора: H2+R2=b2⇒H2=b2-R2=132-(23)2=169-12=157. H=157 см .
- Найдём апофему пирамиды l. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой. По теореме Пифагора: l2=H2+r2=157+32=157+9=166. l=166 см .
- Площадь основания Sосн. Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной a: Sосн =6·a23/4=33/2a2=33/2(23)2=33/2·12=183 см² .
- Объём пирамиды: V=1/3Sосн H=1/3·183·157=63·157=6471 см³ .
- Периметр основания: Pосн =6a=6·23=123 см .
- Площадь боковой поверхности: Sбок =1/2Pосн l=1/2·123·166=63·166=6498 см² .
Проверка.
Результаты совпадают с ключевыми ответами учебника. Логика рассуждений верна: мы корректно использовали связи между элементами правильного шестиугольника (R=a, r=a3/2), правильно применили теорему Пифагора для нахождения высоты и апофемы, а также стандартные формулы объёма и площади боковой поверхности пирамиды. Числовые вычисления проверены: 132-12=157, 157+9=166, 3·157=471, 3·166=498.
6\sqrt{471} см³; 6\sqrt{498} см²
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 483 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 483?
Краткий ответ: 6√471 см³; 6√498 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. Объём конуса.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.