ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 480: Объём конуса

Для решения задачи вспомним формулу объёма пирамиды: V=1/3S_осн h, где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды. Так как основание — правильный треугольник со стороной a, его площадь вычисляется по формуле S_осн =a²3/4. Наша главная задача — найти высоту h через заданные параметры a и φ.

Рассмотрим боковую грань пирамиды. Это равнобедренный треугольник с основанием a и углом при вершине φ. Пусть l — длина бокового ребра. Проведём в этой грани высоту к основанию. Она разделит угол φ пополам и основание a пополам. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой l и противолежащим катетом a/2 против угла φ/2 имеем: sin(φ/2)=a/2/limpliesl=a/2sin(φ/2).

Теперь найдём высоту пирамиды h. Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности правильного треугольника основания. Радиус описанной окружности R для правильного треугольника со стороной a равен R=a/3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром l, высотой пирамиды h и радиусом R. По теореме Пифагора: h=l²-R². Подставим выражения для l и R: h=(a/2sin(φ/2))²-(a/3)²=a1/4sin²(φ/2)-1/3=a3-4sin²(φ/2)/12sin²(φ/2)=a3-4sin²(φ/2)/23sin(φ/2).

Подставим найденные S_осн и h в формулу объёма: V=1/3·a²3/4·a3-4sin²(φ/2)/23sin(φ/2). Сокращаем 3 в числителе и знаменателе: V=1/3·a²/4·a3-4sin²(φ/2)/2sin(φ/2)=a³3-4sin²(φ/2)/24sin(φ/2).