ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 479: Объём конуса

План решения. Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулой V=1/3S_осн H, где S_осн — площадь основания (правильного треугольника), а H — высота пирамиды. В каждом пункте нам нужно выразить сторону основания a и высоту H через боковое ребро l и заданный угол.

а) Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ.

• В правильной треугольной пирамиде вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Расстояние от центра до вершины треугольника равно радиусу описанной окружности R. Связь между стороной основания a и радиусом: R=a/3.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром l, высотой H и отрезком R. По определению угла наклона ребра к плоскости: sinφ=H/l⇒H=lsinφ.
• Также cosφ=R/l⇒R=lcosφ. Отсюда находим сторону основания: a=R3=l3cosφ.
• Площадь правильного треугольника со стороной a: S_осн =3/4a²=3/4(l3cosφ)²=33/4l²cos²φ.
• Объём: V=1/3S_осн H=1/3·33/4l²cos²φ·lsinφ=3/4l³cos²φsinφ.
• Используем тригонометрическое тождество sin2φ=2sinφcosφ, тогда sinφcos²φ=1/2sin2φcosφ. Подставим: V=3/8l³sin2φcosφ.

б) Боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α.

• Рассмотрим боковую грань пирамиды. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами l и основанием a. Угол при основании этого треугольника равен α (так как это угол между боковым ребром и стороной основания).
• Проведём высоту боковой грани к основанию a. Она делит основание пополам. Из прямоугольного треугольника: cosα=a/2/l⇒a=2lcosα.
• Теперь найдём высоту пирамиды H. Сначала найдём радиус описанной окружности основания R=a/3=2lcosα/3.
• Из прямоугольного треугольника с гипотенузой l и катетами H и R: H=l²-R²=l²-4l²cos²α/3=l3-4cos²α/3=l/33-4cos²α.
• Площадь основания: S_осн =3/4a²=3/4(2lcosα)²=3l²cos²α.
• Объём: V=1/3S_осн H=1/3·3l²cos²α·l/33-4cos²α=1/3l³cos²α3-4cos²α.

в) Плоский угол при вершине равен β.

• Плоский угол при вершине — это угол боковой грани при вершине пирамиды. Рассмотрим боковую грань: равнобедренный треугольник с боковыми сторонами l и углом при вершине β.
• Основание этой грани (сторона пирамиды a) можно найти через синус половины угла или теорему косинусов. Проще провести высоту к основанию a: sin(β/2)=a/2/l⇒a=2lsin(β/2).
• Найдём высоту пирамиды H. Радиус описанной окружности основания R=a/3=2lsin(β/2)/3.
• Высота пирамиды: H=l²-R²=l²-4l²sin²(β/2)/3=l3-4sin²(β/2)/3=l/33-4sin²(β/2).
• Площадь основания: S_осн =3/4a²=3/4(2lsinβ/2)²=3l²sin²β/2.
• Объём: V=1/3S_осн H=1/3·3l²sin²β/2·l/33-4sin²β/2=1/3l³sin²β/23-4sin²β/2.

Проверка. Все полученные выражения имеют размерность длины в кубе (l³). Тригонометрические функции безразмерны. Выражения под корнями положительны при существовании пирамиды (например, для пункта б) необходимо 3>4cos²α, что соответствует геометрическим ограничениям на углы в правильной треугольной пирамиде). Ответы совпадают с эталонными ключами.