ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 481: Объём конуса

План решения:

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой V=1/3S_осн h, где S_осн — площадь основания, а h — высота. В обоих пунктах нам нужно выразить неизвестные элементы (сторону основания или высоту) через данные углы и заданные величины.

а) Высота равна H, двугранный угол при основании равен β

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с вершиной S и основанием ABCD. Пусть O — центр основания, тогда SO=H — высота пирамиды. Проведём апофему SM к стороне основания BC, где M — середина BC. По теореме о трёх перпендикулярах, отрезок OM перпендикулярен BC, а угол ∠SMO является линейным углом двугранного угла при ребре основания. Следовательно, ∠SMO=β.

В прямоугольном треугольнике △SOM (∠SOM=90^°):
OM=SO/tanβ=H/tanβ
Так как основание — квадрат, то сторона квадрата a=BC=2·OM. Тогда:
a=2H/tanβ
Площадь основания S_осн =a²=(2H/tanβ)²=4H²/tan²β.

Теперь найдём объём:
V=1/3S_осн H=1/3·4H²/tan²β·H=4H³/3tan²β

б) Сторона основания равна m, плоский угол при вершине равен α

Пусть сторона основания AB=m. Плоский угол при вершине — это угол между боковыми рёбрами в грани, например, ∠ASB=α. Рассмотрим боковую грань △SAB. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами SA=SB=l и основанием AB=m. Опустим высоту SH₁ из вершины S на основание AB. Так как треугольник равнобедренный, высота делит угол при вершине пополам и основание пополам. В прямоугольном треугольнике △SH₁A:
AH₁=m/2, ∠ASH₁=α/2
Отсюда можно найти боковое ребро l=SA:
sinα/2=AH₁/SA=m/2/limpliesl=m/2sinα/2

Теперь найдём высоту пирамиды H. Центр основания O находится на расстоянии половины диагонали квадрата от вершины A. Диагональ квадрата со стороной m равна d=m2, значит AO=m2/2=m/2.

В прямоугольном треугольнике △SOA (∠SOA=90^°) гипотенуза SA=l, катет AO=m/2. Найдём второй катет SO=H по теореме Пифагора:
H²=SA²-AO²=l²-(m/2)²
Подставим выражение для l:
H²=(m/2sinα/2)²-m²/2=m²/4sin²α/2-m²/2
Приведём к общему знаменателю:
H²=m²-2m²sin²α/2/4sin²α/2=m²(1-2sin²α/2)/4sin²α/2
Используем формулу косинуса двойного угла cosα=1-2sin²α/2:
H²=m²cosα/4sin²α/2impliesH=mcosα/2sinα/2
(Здесь предполагаем α<90^°, чтобы cosα>0).

Площадь основания S_осн =m². Объём:
V=1/3S_осн H=1/3m²·mcosα/2sinα/2=m³cosα/6sinα/2

Проверка:

Единицы измерения: в пункте а) H³ даёт объём, тригонометрические функции безразмерны. В пункте б) m³ даёт объём. Формулы согласуются с размерностью. При β→90^° в пункте а) тангенс стремится к бесконечности, объём стремится к нулю (пирамида вырождается в плоскость), что логично. При α→0 в пункте б) синус в знаменателе стремится к нулю, объём растёт (боковые рёбра становятся параллельными высоте), что также соответствует геометрии.