ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 482: Объём конуса

План решения.

Для нахождения объёма пирамиды по формуле V=1/3S_осн h необходимо выразить площадь основания и высоту через данные величины: боковое ребро m и угол наклона к основанию φ. В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат, а высота проходит через центр этого квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной диагонали основания.

Вычисление.

Пусть S — вершина пирамиды, O — центр основания, A — одна из вершин основания. Тогда SA=m (боковое ребро), SO=h (высота), а отрезок AO является половиной диагонали квадрата. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен ∠SAO=φ.

Из прямоугольного треугольника △SOA найдём высоту и проекцию ребра на основание:

Так как AO — половина диагонали квадрата со стороной a, то полная диагональ равна 2AO=2mcosφ. Связь между диагональю d и стороной квадрата a: d=a2.

Отсюда выразим сторону основания a:

Найдём площадь основания S_осн =a²:

Теперь подставим найденные значения в формулу объёма:

Проверка.

Размерность ответа: [m]³, что соответствует объёму. При φ→90^° (cosφ→0) объём стремится к нулю, что логично для вырожденной пирамиды с бесконечно малым основанием при фиксированном ребре (или наоборот, если смотреть на геометрию, то при угле 90 градусов проекция ребра на основание равна 0, сторона основания 0). При φ→0 объём также стремится к нулю, так как высота становится нулевой. Формула согласуется с ключом.