ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 486: Объём конуса

План доказательства.

Идея метода заключается в разбиении исходной пирамиды на несколько меньших пирамид. Вершинами этих новых пирамид будут служить вершины исходной пирамиды, а их основаниями — грани исходной пирамиды. Общая точка для всех этих внутренних пирамид — центр вписанного шара O. Высота каждой такой внутренней пирамиды равна радиусу шара r, так как шар касается всех граней.

Вычисление объёма.

Пусть пирамида имеет n граней (включая основание). Обозначим площади этих граней через S_1,S_2,…,S_n. Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех граней:

Объём любой пирамиды вычисляется по формуле V_{пирамиды} =1/3S_осн h. Рассмотрим внутреннюю пирамиду с основанием S_i и вершиной в центре шара O. Её высота равна расстоянию от центра шара до грани, то есть радиусу r. Следовательно, объём этой малой пирамиды равен:

Объём всей исходной пирамиды равен сумме объёмов всех таких внутренних пирамид:

Вынесем общий множитель 1/3r за скобки:

Так как сумма площадей граней равна площади полной поверхности S, получаем итоговую формулу:

Проверка логики.

Доказательство корректно, так как оно опирается на фундаментальное свойство вписанного шара: он касается всех граней многогранника, и расстояние от центра шара до любой грани одинаково и равно радиусу r. Разбиение многогранника на пирамиды с общей вершиной внутри него является стандартным методом вывода подобных формул (аналогично формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности).