ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 488: Объём конуса

План решения:

Для нахождения объёма пирамиды V=1/3S_осн h необходимо определить площадь основания и высоту. В каждом пункте будем использовать геометрические свойства треугольника в основании и условия на боковые рёбра или двугранные углы для нахождения высоты.

а) ∠CAB=90°, BC=c, ∠ABC = φ, боковые рёбра составляют с плоскостью основания угол θ

Так как все боковые рёбра составляют с плоскостью основания одинаковый угол θ, то вершина S проецируется в центр описанной окружности около основания ABC. Поскольку ∠CAB=90^°, основание — прямоугольный треугольник, а центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы BC. Пусть O — середина BC. Тогда SO — высота пирамиды, h=SO.

Найдём катеты основания: AC=BCsin(∠ABC)=csinφ, AB=BCcos(∠ABC)=ccosφ. Площадь основания: S_ABC=1/2AB·AC=1/2(ccosφ)(csinφ)=1/4c²sin2φ Радиус описанной окружности R=OB=c/2. Из прямоугольного треугольника SOB (∠SOB=90^°, ∠SBO=θ): h=SO=OBtanθ=c/2tanθ.

Объём: V=1/3S_ABC·h=1/3(1/4c²sin2φ)(c/2tanθ)=1/24c³sin2φtanθ

б) AB=12 см, BC=CA=10 см, двугранные углы при основании равны 45°

Если все двугранные углы при основании равны, то высота пирамиды падает в центр вписанной окружности основания. Пусть O — центр вписанной окружности, r — её радиус, h — высота пирамиды. Основание ABC — равнобедренный треугольник со сторонами 10,10,12.

Найдём площадь основания S_ABC. Проведём высоту CH к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, H — середина AB, AH=HB=6 см. По теореме Пифагора в △AHC: CH=AC²-AH²=10²-6²=100-36=64=8 см. S_ABC=1/2AB·CH=1/2·12·8=48 см² Полупериметр p=10+10+12/2=16 см. Радиус вписанной окружности r=S_ABC/p=48/16=3 см.

Двугранный угол при ребре равен углу между апофемой грани и высотой основания, проведённой из центра вписанной окружности к стороне. Рассмотрим сечение через высоту SO и перпендикуляр к стороне AB. Треугольник, образованный высотой h, радиусом r и апофемой, прямоугольный. Угол при основании равен 45^°. Значит, h=rtan45^°=3·1=3 см.

Объём: V=1/3S_ABC·h=1/3·48·3=48 см³

в) Боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины a, b и c

Пусть боковые рёбра SA,SB,SC взаимно перпендикулярны. Это означает, что можно представить пирамиду как часть прямоугольного параллелепипеда, вырезанную из угла. Или проще: принять одно из боковых рёбер за высоту, а два других — за катеты прямоугольного треугольника в основании.

Рассмотрим основание SAB. Так как SA⊥SB, то △SAB — прямоугольный с катетами a и b (предположим SA=a,SB=b,SC=c). Площадь основания S_SAB=1/2ab. Так как SC⊥SA и SC⊥SB, то ребро SC перпендикулярно плоскости SAB. Следовательно, SC является высотой пирамиды относительно основания SAB. Значит, h=c.

Объём: V=1/3S_SAB·SC=1/3(1/2ab)c=1/6abc

Проверка:

В пункте а) размерность совпадает (L³), тригонометрические функции корректны. В пункте б) расчёт площади и радиуса вписанной окружности стандартен для равнобедренного треугольника, связь высоты и радиуса при угле 45 градуса верна (h=r). В пункте в) формула объёма тетраэдра с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами известна и равна 1/6abc.