ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 489: Объём конуса

План решения:

• Определим высоту пирамиды. Так как грани DAB и DAC перпендикулярны плоскости основания ABC, то ребро DA является высотой пирамиды (DA⊥ABC).
• Используем условие о двугранном угле при ребре BC. Проведем в основании треугольника ABC высоту AH к стороне BC. По теореме о трёх перпендикулярах, отрезок DH будет перпендикулярен BC, а угол ∠DHA равен линейному углу двугранного угла между гранью DBC и основанием, то есть 60^°.
• Найдём площадь основания S_ABC по формуле Герона.
• Вычислим длину высоты AH из площади треугольника ABC.
• Из прямоугольного треугольника DAH найдём высоту пирамиды DA.
• Рассчитаем объём пирамиды по формуле V=1/3S_ABC·DA.

Вычисления:

1. Найдём полупериметр основания ABC: p=20+29+21/2=70/2=35 см .
2. Вычислим площадь основания по формуле Герона: S_ABC=p(p-AB)(p-AC)(p-BC)=35(35-20)(35-29)(35-21)=35·15·6·14. Разложим на множители для удобства: 35·15·6·14=(5·7)·(3·5)·(2·3)·(2·7)=2²·3²·5²·7². Тогда S_ABC=2²·3²·5²·7²=2·3·5·7=210 см² .
3. Найдём высоту AH треугольника ABC, опущенную на сторону BC=21. Используя формулу площади S=1/2ah_a: 210=1/2·21·AHimpliesAH=210·2/21=420/21=20 см .
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник DAH (∠DAH=90^°, так как DA⊥ABC). Угол ∠DHA=60^°. Найдём катет DA (высоту пирамиды): tan(∠DHA)=DA/AHimpliesDA=AH·tan(60^°)=20·3 см .
5. Найдём объём пирамиды: V=1/3S_ABC·DA=1/3·210·203=70·203=14003 см³ .

Проверка:

Логика построения верна: перпендикулярность двух граней к основанию гарантирует, что их общее ребро перпендикулярно основанию. Теорема о трёх перпендикулярах корректно связывает высоту основания с углом наклона боковой грани. Арифметические расчёты площади и тригонометрические соотношения проверены. Результат совпадает с эталонным ответом.