ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 493: Объём конуса

Для решения задачи нам необходимо найти высоту усечённой пирамиды. Мы знаем площади оснований и площадь диагонального сечения. План действий следующий: сначала выразим диагонали оснований через их стороны, затем найдём проекцию бокового ребра на плоскость основания (или разность полудиагоналей), используя свойства правильного сечения, и наконец, из треугольника сечения найдём высоту.

1. Диагонали оснований.

Основания — квадраты со сторонами a=6 см и b=4 см. Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на 2. d₁=a2=62 см d₂=b2=42 см

2. Анализ сечения.

Плоскость проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. В правильной четырёхугольной пирамиде такие рёбра лежат на противоположных углах. Сечение представляет собой равнобедренную трапецию, основания которой — это диагонали верхнего и нижнего оснований (d₂ и d₁), а боковые стороны — это боковые рёбра пирамиды (l).

Площадь этой трапеции дана: S_сеч =15 см². Формула площади трапеции: S=d₁+d₂/2·h_сеч где h_сеч — высота трапеции (это апофема сечения, отрезок, соединяющий середины диагоналей? Нет, в данном случае сечение проходит через вершины, то есть через концы диагоналей. Боковые стороны трапеции — это сами боковые рёбра. Высота трапеции проведена между параллельными основаниями d₁ и d₂. Эта высота лежит в плоскости сечения и является перпендикуляром к диагоналям. Поскольку пирамида правильная, центр тяжести сечения совпадает с осью симметрии. Однако важно понимать геометрию: сечение проходит через ребра . Значит, основания трапеции — это диагонали. Высота трапеции H_tr связана с высотой пирамиды H и разностью полудиагоналей.

Давайте рассмотрим осевое сечение или проекцию. Пусть O₁ и O₂ — центры оснований. Отрезок O₁O₂ — высота пирамиды H. Точки A_1,C₁ — концы диагонали нижнего основания, A_2,C₂ — концы диагонали верхнего. Трапеция A₁C₁C₂A₂ — наше сечение. Её высота h_tr опущена из точки A₂ на прямую A₁C₁. Так как пирамида правильная, проекция A₂ на нижнее основание лежит на диагонали A₁C₁. Расстояние от центра O₁ до вершины A₁ равно R₁=d₁/2=32. Расстояние от центра O₂ до вершины A₂ равно R₂=d₂/2=22. Разность радиусов описанных окружностей (полудиагоналей): ΔR=R₁-R₂=32-22=2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды H, отрезком ΔR и боковым ребром l, гипотенуза — это l. Но нам нужна высота трапеции h_tr. Высота трапеции h_tr является катетом прямоугольного треугольника, где другой катет — это половина разности оснований трапеции? Нет. Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями d₁ и d₂. Проведём высоты из вершин меньшего основания. Они отсекают на большем основании отрезки длиной x=d₁-d₂/2. x=62-42/2=22/2=2 Высота трапеции h_tr связана с боковой стороной (боковым ребром l) соотношением l²=h2tr+x². Это верно для любой равнобедренной трапеции. Однако мы можем найти h_tr напрямую из площади: 15=62+42/2·h_tr 15=102/2·h_tr=52·h_tr h_tr=15/52=3/2=32/2 см

3. Нахождение высоты пирамиды H.

Теперь нужно связать высоту трапеции h_tr с высотой пирамиды H. Рассмотрим проекцию сечения на плоскость, проходящую через ось пирамиды и одно из боковых рёбер? Нет, проще рассмотреть треугольник, образованный центрами оснований и концом диагонали. Пусть M — середина диагонали A₁C₁ (это центр O₁). Нет, высота трапеции проведена из вершины A₂ к основанию A₁C₁. Пусть K — проекция A₂ на A₁C₁. Тогда A₂K=h_tr. Так как A₂ проектируется в точку A′₂ на нижнем основании, лежащую на диагонали A₁C₁, причём O₁A′₂=O₂A₂=R₂=22, а O₁A₁=R₁=32. Расстояние A′₂A₁=R₁-R₂=2. Это тот самый отрезок x, который мы нашли выше. Треугольник A₂KA₁ — прямоугольный, где A₂K=h_tr, KA₁=x=2, гипотенуза A₂A₁=l (боковое ребро). Но нам нужна высота пирамиды H. Высота пирамиды H равна расстоянию между плоскостями оснований. В пространстве точка A₂ находится над точкой A′₂ на высоте H. Точка K лежит на прямой A₁C₁. Проекция A₂ на нижнее основание — это A′₂. Следовательно, K совпадает с A′₂ только если сечение вертикально? Нет. Давайте посмотрим на координаты или векторы. Вектор A₂A₁ имеет длину l. Его горизонтальная проекция равна x=2. Его вертикальная проекция равна H. Значит, l²=H²+x². С другой стороны, в трапеции сечения l²=h2tr+x². Отсюда следует, что H²+x²=h2tr+x²⇒H=h_tr? Это было бы верно, если бы боковая сторона трапеции была перпендикулярна основаниям трапеции, но это не так. Или если бы проекция бокового ребра на плоскость сечения совпадала с высотой трапеции. Проверим геометрию. Плоскость сечения содержит диагонали. Она проходит через ось симметрии пирамиды. Угол наклона этой плоскости к основанию равен 90 градусов? Да, потому что она проходит через вертикальную ось O₁O₂ и диагонали, которые лежат в горизонтальных плоскостях. То есть плоскость сечения перпендикулярна основаниям пирамиды. Если плоскость сечения перпендикулярна основаниям, то высота трапеции h_tr, проведённая в этой плоскости, параллельна оси пирамиды. Следовательно, длина этого перпендикуляра между параллельными прямыми (диагоналями) равна расстоянию между плоскостями оснований, то есть высоте пирамиды H. Таким образом, H=h_tr.

Итак, мы нашли: H=32/2 см

4. Вычисление объёма.

Формула объёма усечённой пирамиды: V=1/3H(S₁+S₂+S₁S₂) Площади оснований: S₁=a²=6²=36 см² S₂=b²=4²=16 см² Подставим значения: S₁S₂=36·16=6·4=24 S₁+S₂+S₁S₂=36+16+24=76 V=1/3·32/2·76 Сократим тройки: V=2/2·76=382 см³

Проверка: Логика верна. Плоскость, проходящая через два скрещивающихся боковых ребра правильной четырёхугольной пирамиды, действительно содержит ось пирамиды и диагонали оснований. Поскольку диагонали лежат в горизонтальных плоскостях, а ось вертикальна, эта плоскость вертикальна. Следовательно, расстояние между основаниями трапеции (высота трапеции) равно высоте пирамиды. Расчёты площади трапеции и объёма выполнены без ошибок.