ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 492: Объём конуса

План решения.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды можно воспользоваться методом вычитания: найти объём исходной полной пирамиды и вычесть из него объём отсечённой верхней малой пирамиды. Поскольку секущая плоскость параллельна основанию и делит боковые рёбра пополам, высота всей пирамиды равна удвоенному расстоянию от вершины до основания (или определяется через теорему Пифагора в треугольнике, образованном боковым ребром, высотой и радиусом описанной окружности). Однако проще сначала найти высоту всей пирамиды H, затем использовать коэффициент подобия k=1/2 для объёма верхней части (V_top=k³V_total), а объём усечённой части равен V_frustum=V_total-V_top=7/8V_total.

Вычисление.

1. Найдём площадь основания S_base. Основание — прямоугольный треугольник с катетами a=24 дм и b=18 дм. S_base=1/2·24·18=216 дм²

2. Найдём гипотенузу основания c: c=24²+18²=576+324=900=30 дм

3. Так как все боковые рёбра равны (l=25 дм), вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы: R=c/2=30/2=15 дм

4. Найдём высоту пирамиды H из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром l, высотой H и радиусом R: H=l²-R²=25²-15²=625-225=400=20 дм

5. Вычислим объём всей пирамиды V_total: V_total=1/3S_baseH=1/3·216·20=72·20=1440 дм³

6. Плоскость пересекает боковые рёбра пополам, значит, линейный коэффициент подобия верхней отсечённой пирамиды k=1/2. Объём верхней пирамиды V_top относится к объёму всей пирамиды как куб коэффициента подобия: V_top=k³·V_total=(1/2)³·1440=1/8·1440=180 дм³

7. Объём усечённой пирамиды V_frustum: V_frustum=V_total-V_top=1440-180=1260 дм³

Проверка.

Можно проверить результат, используя формулу объёма усечённой пирамиды напрямую или через площади сечений. Площадь верхнего сечения S_top=k²S_base=1/4·216=54 дм². Высота усечённой пирамиды h=H/2=10 дм. Формула объёма усечённой пирамиды: V=h/3(S₁+S₂+S₁S₂). Подставим значения: V=10/3(216+54+216·54)=10/3(270+11664)=10/3(270+108)=10/3·378=10·126=1260 дм³. Результаты совпадают.