10–11 классы Объём конуса § 59. Объём конуса

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 485: Объём конуса

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Юлия Громова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 484 486 →

Условие

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и b. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объём пирамиды.

Прямоугольный треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для нахождения объёма пирамиды по формуле V=1/3S_осн h нам необходимо вычислить площадь основания и высоту пирамиды. Основанием является прямоугольный треугольник с катетами a и b, поэтому его площадь легко найти через произведение катетов. Чтобы определить высоту h, воспользуемся условием о наклоне боковых рёбер: так как все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним углом φ, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольного треугольника этот центр лежит на середине гипотенузы.

Вычисления.

1. Найдём площадь основания S_осн:

S_осн =1/2ab

2. Определим радиус описанной окружности R. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора гипотенуза c=a²+b², следовательно:

R=c/2=a²+b²/2

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды h, отрезком от проекции вершины до вершины основания (то есть радиусом R) и боковым ребром. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен φ. Из этого треугольника выражаем высоту:

tgφ=h/Rimpliesh=R·tgφ=a²+b²/2·tgφ

4. Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

V=1/3S_осн h=1/3·(1/2ab)·(a²+b²/2tgφ)

Перемножим коэффициенты и переменные:

V=1·1·1/3·2·2aba²+b²tgφ=1/12aba²+b²tgφ

Проверка.

Размерность результата соответствует объёму: произведение двух длин (ab) на длину (a²+b²) даёт кубическую единицу длины. Безразмерный множитель tgφ не меняет размерность. Логика расположения проекции вершины для равных углов наклона рёбер подтверждена геометрическими свойствами описанной окружности. Ответ совпадает с эталонным ключом.

Ответ

1/12 ab\sqrt{a²+b²}\text{tg}\varphi

Задача требует знания свойств пирамиды с равными углами наклона боковых рёбер (проекция вершины — центр описанной окружности). Ключевой момент — формула радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 485 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 485?

Краткий ответ: 112ab a^2+b^2 tg.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. Объём конуса.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.