ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 484: Объём конуса
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=13 см, AC=10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол в 30°. Вычислите объём пирамиды.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Найдём площадь основания пирамиды (треугольника ABC).
- Определим радиус описанной окружности около основания (R), так как вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.
- Выразим высоту пирамиды (H) через R и заданный угол наклона бокового ребра.
- Вычислим объём по формуле V=1/3Sосн H.
Вычисления:
- Площадь основания. Треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB=BC=13 см и основанием AC=10 см. Проведём высоту BM к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, то M — середина AC, значит AM=MC=5 см. По теореме Пифагора для △ABM: BM=AB2-AM2=132-52=169-25=144=12 см . Площадь основания: SABC=1/2·AC·BM=1/2·10·12=60 см² .
- Радиус описанной окружности. Поскольку все боковые рёбра наклонены к высоте под одним углом, высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания. Радиус R найдём по формуле площади треугольника S=abc/4R, где a,b,c — стороны треугольника. Здесь a=13,b=13,c=10. R=13·13·10/4·60=1690/240=169/24 см .
- Высота пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды SO, радиусом OA=R и боковым ребром SA. Угол между боковым ребром и высотой равен 30°, то есть ∠ASO=30°. Тогда: tan(30°)=OA/SO=R/HimpliesH=R/tan(30°)=R·cot(30°). Известно, что cot(30°)=3. Следовательно: H=169/24·3=1693/24 см .
- Объём пирамиды. Подставим найденные значения в формулу объёма: V=1/3SABC·H=1/3·60·1693/24. Сократим 60 и 3 на 3, получаем 20: V=20·1693/24=20·1693/24. Сократим дробь 20/24 на 4, получаем 5/6: V=5·1693/6=8453/6 см³ .
Проверка:
Пересчитаем арифметику. 132-52=144, корень 12. Площадь 60. R=1690/240=169/24. H=1693/24. V=(1/3)·60·(1693/24)=20·1693/24=5·1693/6=8453/6. Результат совпадает с ключом.
\frac{845\sqrt{3}}{6}
Задача требует знания свойств пирамиды с равными углами наклона боковых рёбер (высота проходит через центр описанной окружности). Ключевой момент — правильный расчёт радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 484 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 484?
Краткий ответ: 845√36.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. Объём конуса.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.