ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 476: Объём конуса

План решения.

Объём наклонной призмы можно найти по формуле V=S_сеч ·l, где S_сеч — площадь перпендикулярного сечения (сечения, проходящего через боковое ребро перпендикулярно ему), а l — длина бокового ребра. Также объём можно выразить через площадь боковой поверхности и расстояние от центра вписанной окружности основания до боковых граней, но для треугольной призмы удобнее использовать связь между расстояниями между боковыми рёбрами и параметрами перпендикулярного сечения.

Заметим, что расстояния между скрещивающимися прямыми (боковыми рёбрами) равны высотам треугольника, являющегося перпендикулярным сечением призмы, проведённым к соответствующим сторонам этого треугольника? Нет, это неверно. Расстояния между боковыми рёбрами наклонной призмы равны длинам сторон треугольника, образованного перпендикулярным сечением? Тоже нет.

Вспомним теорему: объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Пусть a_1,a_2,a₃ — стороны перпендикулярного сечения. Тогда расстояния между боковыми рёбрами равны высотам этого треугольника, опущенным на соответствующие стороны? Нет, расстояния между параллельными прямыми (если бы они были параллельны) — это просто расстояние. Но боковые рёбра не параллельны друг другу в общем случае? В призме все боковые рёбра параллельны друг другу. Значит, расстояние между двумя любыми боковыми рёбрами — это длина общего перпендикуляра, который лежит в плоскости, перпендикулярной этим рёбрам. Эта плоскость как раз и является перпендикулярным сечением призмы. Таким образом, данные числа 37, 13 и 30 см являются высотами треугольника перпендикулярного сечения, проведёнными к его сторонам? Или сами стороны?

Рассмотрим треугольник перпендикулярного сечения ABC. Боковые рёбра проходят через вершины A,B,C перпендикулярно плоскости ABC. Расстояние между боковым ребром через A и боковым ребром через B равно длине отрезка AB (так как рёбра перпендикулярны плоскости сечения). Следовательно, заданные числа 37, 13 и 30 — это длины сторон треугольника перпендикулярного сечения.

Теперь используем формулу объёма через площадь боковой поверхности. Для любой призмы V=S_бок ·r, где r — радиус окружности, вписанной в перпендикулярное сечение? Это верно только если призма описана около цилиндра или имеет особые свойства. Общая формула: V=S_сеч ·l. Площадь боковой поверхности S_бок =P_сеч ·l, где P_сеч — периметр перпендикулярного сечения.

Отсюда следует, что l=S_бок/P_сеч. Подставим это в формулу объёма:

Нам нужно найти площадь S_сеч и периметр P_сеч треугольника со сторонами 37, 13 и 30.

Вычисление.

1. Найдём полупериметр треугольника перпендикулярного сечения: p=37+13+30/2=80/2=40 см Периметр P_сеч =2p=80 см.
2. Найдём площадь треугольника по формуле Герона: S_сеч =p(p-a)(p-b)(p-c) Подставим значения: S_сеч =40(40-37)(40-13)(40-30)=40·3·27·10 Упростим подкоренное выражение: 40·10=400, 3·27=81 S_сеч =400·81=400·81=20·9=180 см²
3. Используем данную площадь боковой поверхности S_бок =480 см². Формула объёма: V=S_сеч ·S_бок/P_сеч V=180·480/80 V=180·6=1080 см³

Проверка.

Проверим логику. Если бы призма была прямой, то боковая поверхность состояла бы из прямоугольников высотой H и основаниями, равными сторонам основания. Перпендикулярное сечение совпало бы с основанием. Формула V=S_осн ·H эквивалентна V=S_сеч ·l, так как l=H. Также S_бок =P_осн ·H. Тогда V=S_осн ·S_бок/P_осн. Наше решение использует именно эту универсальную связь для наклонных призм, где роль основания играет перпендикулярное сечение, а роль высоты — боковое ребро. Числа подобраны удачно: стороны образуют треугольник с целочисленной площадью, периметр делится без остатка на площадь боковой поверхности. Результат выглядит корректным.