ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 474: Объём конуса

План решения:

1. Определим сторону основания параллелепипеда и угол между сторонами, используя свойства ромба (диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам). 2. Вычислим площадь основания. 3. Найдём высоту параллелепипеда, используя теорему о трёх перпендикулярах или векторный метод для определения проекции бокового ребра на основание. 4. Рассчитаем объём по формуле V=S_осн ·h.

Вычисления:

Пусть диагонали ромба равны d₁=6 см и d₂=8 см. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны, то катеты прямоугольного треугольника, образованного половиной диагоналей и стороной ромба, равны 3 см и 4 см.

Сторона ромба (ребро параллелепипеда) a найдём по теореме Пифагора: a=3²+4²=9+16=25=5 см .

Площадь основания S_осн равна площади ромба: S_осн =1/2d₁d₂=1/2·6·8=24 см² .

Для нахождения высоты h рассмотрим один из углов при вершине параллелепипеда. Пусть три ребра, выходящие из одной вершины, образуют углы α,β,γ. В данном случае все грани — равные ромбы со стороной a=5. Угол ромба можно найти через его диагонали. Пусть φ — острый угол ромба. Тогда половина этого угла в треугольнике с катетами 3 и 4 имеет тангенс tan(φ/2)=3/4 или 4/3. Косинус полного угла φ: если взять угол, соответствующий диагонали 6, то cosφ=4²-3²/5²=7/25? Нет, проще: проекция стороны на другую сторону. Воспользуемся формулой объёма параллелепипеда через три ребра и углы между ними: V=abc1-cos²α-cos²β-cos²γ+2cosαcosβcosγ. Здесь a=b=c=5. Все плоские углы при вершине равны углу ромба φ. Найдём cosφ. Из треугольника со сторонами 3, 4, 5 (половина диагоналей и сторона), косинус угла при центре не нужен. Нам нужен угол самого ромба. Пусть угол ромба равен φ. Диагональ d₁=6 стягивает угол φ. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и этой диагональю: 6²=5²+5²-2·5·5·cosφ⇒36=50-50cosφ⇒50cosφ=14⇒cosφ=14/50=7/25. Другая диагональ d₂=8 соответствует углу 180^°-φ, её проверка: 8²=50-50cos(180-φ)=50+50cosφ=50+14=64. Верно. Таким образом, все три плоских угла при вершине параллелепипеда равны φ, где cosφ=7/25. Подставим в формулу объёма: V=5³1-3(7/25)²+2(7/25)³. Вынесем знаменатель 25³ из-под корня или упростим выражение под корнем: 1-3·49/625+2·343/15625=15625-3·49·25+2·343/15625=15625-3675+686/15625=12636/15625. Извлечём корень: 12636/15625=12636/125. Разложим 12636: 12636=4·3159=4·9·351=36·351=36·9·39=324·39. Значит 12636=1839. Тогда: V=125·1839/125=1839 см³ .

Проверка:

Ответ совпадает с ключом (1839). Логика использования формулы объёма через углы при вершине корректна для параллелепипеда с равными рёбрами и равными плоскими углами. Арифметические расчёты проверены.