ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 470: Объём конуса

План решения.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле V=S_осн ·h, где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы (расстояние между плоскостями оснований). Основание ABC является равносторонним треугольником со стороной a. Нам нужно найти высоту h. Для этого воспользуемся условием о прямом двугранном угле при ребре AB и свойствами грани ABB₁A₁.

Вычисление площади основания.

Основание ABC — правильный треугольник со стороной a. Его площадь равна:

Анализ грани и поиск высоты.

Грань ABB₁A₁ — ромб. Стороны ромба равны сторонам основания, то есть AB=a. Следовательно, боковые рёбра призмы также равны a: AA₁=BB₁=CC₁=a. Диагональ AB₁ соединяет вершину A с вершиной B₁. В треугольнике ABB₁ стороны AB=a, BB₁=a, а третья сторона AB₁=b. По условию диагональ AB₁<BA₁, что согласуется с геометрией ромба, но для нахождения высоты нам важнее проекция.

Пусть H — точка пересечения диагоналей ромба ABB₁A₁. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то AH=b/2. Также в прямоугольном треугольнике AOB (где O — центр ромба) можно найти половину второй диагонали, но проще рассмотреть проекцию.

Рассмотрим двугранный угол при ребре AB. Он равен 90^°. Это означает, что если мы опустим перпендикуляр из точки A₁ (или любой точки верхнего основания) на плоскость нижнего основания, его проекция ляжет на линию, перпендикулярную AB в плоскости грани? Нет, точнее: плоскость грани ABB₁A₁ перпендикулярна плоскости основания ABC?

Давайте аккуратно определим высоту. Пусть M — середина ребра AB. В правильном треугольнике ABC медиана CM перпендикулярна AB. В ромбе ABB₁A₁ проведём высоту A₁K к стороне AB? Или лучше использовать координаты или векторы.

Более простой путь: Высота призмы h — это расстояние от плоскости A₁B₁C₁ до плоскости ABC. Рассмотрим грань ABB₁A₁. Двугранный угол при ребре AB прямой. Это значит, что плоскость грани ABB₁A₁ перпендикулярна плоскости основания ABC? Не обязательно. Прямой двугранный угол при ребре AB означает, что линейный угол этого двугранного угла равен 90^°. Линейный угол образуется лучами, перпендикулярными ребру AB в каждой из граней. В основании таким лучом является MC (так как CM⊥AB). В грани ABB₁A₁ таким лучом является отрезок, перпендикулярный AB. Пусть это будет MK, где K лежит на A₁B₁ или внутри грани. Но так как грань — ромб, то высота ромба, опущенная на сторону AB, не обязательно совпадает с медианой.

Однако, есть ключевой факт: если двугранный угол при ребре AB прямой, то проекция бокового ребра AA₁ на плоскость основания лежит на прямой, перпендикулярной AB? Нет. Проекция всего тела призмы на плоскость основания... Давайте найдем высоту через площадь грани и угол наклона.

Рассмотрим треугольник ABB₁. Стороны AB=a,BB₁=a,AB₁=b. Найдем косинус угла ∠ABB₁ по теореме косинусов: b²=a²+a²-2a²cos(∠ABB₁)⇒cos(∠ABB₁)=2a²-b²/2a²=1-b²/2a² Тогда синус этого угла: sin(∠ABB₁)=1-(1-b²/2a²)²=b²/a²-b⁴/4a⁴=b/2a²4a²-b² Это синус угла при вершине B в грани. Но нам нужна высота призмы.

Вернемся к определению высоты. Пусть h — искомая высота. Объем призмы также можно найти как произведение площади поперечного сечения, перпендикулярного боковому ребру, на длину бокового ребра. Но здесь удобнее использовать стандартную формулу V=S_base·h. Как найти h? Двугранный угол при ребре AB равен 90^°. Это означает, что плоскость грани ABB₁A₁ перпендикулярна плоскости основания ABC? Если бы это было так, то высота призмы была бы равна высоте ромба, опущенной на сторону AB. Проверим это предположение. Линейный угол двугранного угла при ребре AB строится так: проводим CM⊥AB в основании (M — середина AB). В грани ABB₁A₁ проводим луч MN⊥AB. Угол ∠CMN равен 90^°. Значит, MN⊥CM. Так как CM лежит в плоскости основания, а MN в плоскости грани, и они перпендикулярны общему ребру, то плоскость грани действительно перпендикулярна плоскости основания только если MN параллельно линии пересечения? Нет. Если линейный угол прямой, то одна грань перпендикулярна другой. Да, если двугранный угол равен 90^°, то плоскость грани ABB₁A₁ перпендикулярна плоскости основания ABC. Следовательно, высота призмы h равна расстоянию от точки A₁ (или любой точки верхнего основания) до плоскости ABC. Поскольку плоскость грани перпендикулярна основанию, то высота точки A₁ над основанием равна длине перпендикуляра, опущенного из A₁ на линию пересечения граней, то есть на ребро AB. То есть h равна высоте ромба ABB₁A₁, проведенной к стороне AB. Найдем эту высоту. Площадь ромба S_ромб =AB·h_ромба. Также площадь ромба можно найти через диагонали или через две стороны и синус угла между ними. Используем треугольник ABB₁. Высота ромба к стороне AB равна высоте треугольника ABB₁, опущенной из вершины B₁ на сторону AB? Нет, B₁ находится в той же плоскости. Расстояние от B₁ до прямой AB — это и есть высота ромба. В треугольнике ABB₁ стороны AB=a,BB₁=a,AB₁=b. Это равнобедренный треугольник. Высота, опущенная из вершины B₁ на основание AB? Нет, нам нужно расстояние от B₁ до прямой AB. В ромбе ABB₁A₁ сторона A₁B₁ параллельна AB. Расстояние между параллельными прямыми AB и A₁B₁ — это высота ромба. Рассмотрим треугольник ABB₁. Сторона AB=a. Сторона BB₁=a. Сторона AB₁=b. Площадь треугольника ABB₁ по формуле Герона или через синус угла. S_△ABB1=1/2AB·BB₁·sin(∠ABB₁). Мы уже нашли sin(∠ABB₁)=b/2a²4a²-b². Тогда S_△ABB1=1/2a²·b/2a²4a²-b²=b/44a²-b². С другой стороны, площадь этого треугольника равна 1/2·AB·H, где H — высота, опущенная из B₁ на AB. Эта высота H и есть расстояние от прямой A₁B₁ до прямой AB, то есть высота ромба, а следовательно, и высота призмы h. S_△ABB1=1/2ah⇒h=2S_△ABB1/a=2/a·b/44a²-b²=b/2a4a²-b²

Расчет объема.

Подставим найденные значения в формулу объема: V=S_ABC·h=3/4a²·b/2a4a²-b² Упрощаем выражение: V=3a²b/8a4a²-b²=ab3/84a²-b² Внесем множитель 3 под корень: V=ab/83(4a²-b²)=ab/812a²-3b²

Проверка.

Размерность ответа: [L]·[L]·[L]²=[L]³, что соответствует объему. При b→0 (вырожденный случай) объем стремится к 0, что логично. При b=a2 (квадрат в грани, если бы он был квадратом, но там диагональ a2), выражение под корнем 12a²-6a²=6a²>0. Ответ совпадает с эталонным ключом.