ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 464: 55 Объём цилиндра

План решения.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V_ц =πR²h, где R — радиус основания, h — высота. Объём призмы равен произведению площади её основания на высоту: V_пр =S_осн h. Поскольку призма вписана в цилиндр, их высоты равны, а вершины основания призмы лежат на окружности радиуса R. Отношение объёмов не зависит от высоты и равно отношению площадей оснований: V_пр/V_ц =S_осн/πR².

Основание призмы — правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса R. Его площадь можно найти как сумму площадей n одинаковых треугольников с боковыми сторонами R и углом при вершине α=360^°/n (или 2π/n в радианах). Площадь одного такого треугольника равна 1/2R²sinα. Следовательно, площадь основания призмы: S_осн =n·1/2R²sin(360^°/n)=n/2R²sin(360^°/n).

Подставим это выражение в формулу отношения объёмов: V_пр/V_ц =n/2R²sin(360^°/n)/πR²=nsin(360^°/n)/2π. Теперь рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) n=3.

Подставляем n=3 в полученную формулу: V_пр/V_ц =3sin(360^°/3)/2π=3sin(120^°)/2π. Известно, что sin(120^°)=3/2. Тогда отношение равно: 3·3/2/2π=33/4π.

б) n=4.

Для квадрата (n=4): V_пр/V_ц =4sin(360^°/4)/2π=4sin(90^°)/2π. Так как sin(90^°)=1, получаем: 4·1/2π=2/π.

в) n=6.

Для правильного шестиугольника (n=6): V_пр/V_ц =6sin(360^°/6)/2π=6sin(60^°)/2π. Значение sin(60^°)=3/2. Подставляем: 6·3/2/2π=33/2π.

г) n=8.

Для правильного восьмиугольника (n=8): V_пр/V_ц =8sin(360^°/8)/2π=8sin(45^°)/2π. Так как sin(45^°)=2/2, имеем: 8·2/2/2π=42/2π=22/π.

д) n — произвольное целое число.

Мы уже вывели общую формулу для произвольного n: V_пр/V_ц =nsin(360^°/n)/2π. Это отношение можно записать в виде пропорции: nsin(360^°/n):2π или, разделив числитель и знаменатель на 2, как n/2sin(360^°/n):π.