ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 465: 55 Объём цилиндра

План решения.

Чтобы найти объём цилиндра, нам необходимо знать радиус его основания R и высоту H. Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра (H=h), а окружность основания цилиндра является описанной около треугольника — основания призмы. Объём цилиндра вычисляется по формуле V=πR²H. Наша задача сводится к нахождению радиуса описанной окружности R вокруг прямоугольного треугольника с известным катетом a и прилежащим углом α.

Вычисление.

Рассмотрим основание призмы — прямоугольный треугольник. Пусть катет a лежит напротив угла 90^°-α, а угол α прилегает к этому катету (то есть a — это прилежащий катет к углу α). В таком случае гипотенуза c этого треугольника связана с катетом a соотношением: cosα=a/cimpliesc=a/cosα.

Важное свойство прямоугольного треугольника: центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы. Следовательно, радиус основания цилиндра R равен: R=c/2=a/2cosα.

Теперь подставим найденный радиус R и высоту h в формулу объёма цилиндра: V=π(a/2cosα)²·h=π·a²/4cos²α·h=πa²h/4cos²α.

Проверка.

Проверим размерности и предельные случаи. Если угол α стремится к 0, то cosα→1, и радиус R≈a/2. Это логично, так как при малом угле прилежащий катет почти равен гипотенузе. Если же угол α увеличивается, приближаясь к 90^°, то cosα→0, знаменатель уменьшается, и радиус (а значит, и объём) стремится к бесконечности. Это также верно, так как для фиксированного катета a при увеличении прилежащего угла гипотенуза должна расти неограниченно. Формула получена корректно.