ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 473: Объём конуса

План решения.

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле V=S_осн ·h, где S_осн — площадь основания, а h — высота. Основанием является прямоугольник со сторонами a и b, поэтому его площадь равна ab. Нам нужно найти высоту наклонного параллелепипеда. Для этого рассмотрим проекцию бокового ребра длины c на плоскость основания. Пусть вершина верхнего основания проектируется в точку O′ внутри или вне основания. Высота h будет катетом прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром c, его проекцией на основание и самой высотой h.

Вычисление высоты.

Пусть боковое ребро AA₁ (длиной c) составляет с двумя смежными сторонами основания углы, равные β/2 (в условии сказано «углы, равные β», обычно подразумевается угол с каждой из сторон). Обозначим проекцию ребра AA₁ на плоскость основания как отрезок AO′. Длина этой проекции d=AO′ связана с длиной ребра и углом наклона ребра к плоскости основания θ соотношением d=ccosθ. Однако нам даны углы с сторонами основания. Рассмотрим вектор бокового ребра c. Пусть стороны основания лежат на осях x и y. Углы между вектором c и осями x и y равны β. Тогда направляющие косинусы вектора c относительно осей x и y равны β_x=β_y=β. Зная два направляющих косинуса, можно найти третий, соответствующий оси z (высоте). Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице: β2x+β2y+β2z=1 Подставим известные значения: β²+β²+β2z=1 2β²+β2z=1 Отсюда находим квадрат косинуса угла наклона ребра к оси z (то есть к направлению высоты): β2z=1-2β² Сам направляющий косинус β_z равен h/c, так как он показывает отношение проекции вектора на ось z (высоту) к длине вектора. (h/c)²=1-2β² h=c1-2β² Заметим, что для существования такой геометрической фигуры необходимо выполнение условия 1-2β²>0, то есть β<45^o.

Расчёт объёма и проверка.

Теперь подставим найденную высоту в формулу объёма: V=S_осн ·h=ab·c1-2β²=abc1-2β² В ключах часто встречается запись через двойной угол или другие тригонометрические преобразования. Проверим эквивалентность выражения 1-2β² и возможной опечатки в ключе abc-β². Очевидно, что корень из отрицательного числа не имеет смысла в вещественных числах, если только β не мнимое, что невозможно для угла. Вероятнее всего, в ключе имелось в виду abc1-2β² или аналогичное выражение, либо β обозначает не сам угол, а его косинус/синус. Если предположить стандартную задачу, ответ: abc1-2β². Однако, давайте внимательно посмотрим на условие: «составляет со смежными сторонами основания углы, равные β». Это классическая задача. Ответ должен быть положительным числом. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Если в ключе написано abc-β², это явная ошибка печати или неверный перенос формулы. Правильный вывод: h=c1-2β². Итак, объём равен abc1-2β².