ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 472: Объём конуса

План решения:

• Найдём площадь основания призмы S_осн.
• Определим положение проекции вершины A₁ на плоскость основания. Так как A₁ равноудалена от A,B,C, то её проекция H является центром описанной окружности вокруг треугольника ABC.
• Вычислим радиус описанной окружности R, который равен расстоянию AH.
• Из условия о угле наклона бокового ребра найдём высоту призмы h=A₁H.
• Рассчитаем объём призмы по формуле V=S_осн ·h.

Вычисления:

1. Основание — прямоугольный треугольник с катетами AB=7 см и AC=24 см. S_осн =1/2·AB·AC=1/2·7·24=84 см² . Гипотенуза BC равна: BC=AB²+AC²=7²+24²=49+576=625=25 см .
2. Центр описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Следовательно, расстояние от вершины A до проекции H (центр окружности) равно радиусу описанной окружности: AH=R=BC/2=25/2=12.5 см .
3. Угол между ребром AA₁ и плоскостью основания равен углу ∠A₁AH. По условию он составляет 45^°. В прямоугольном треугольнике A₁HA (где ∠A₁HA=90^°): tan(45^°)=A₁H/AH⇒1=h/12.5⇒h=12.5 см . Таким образом, высота призмы h=12.5 см.
4. Объём призмы: V=S_осн ·h=84·12.5. Для удобства вычисления: 84·12.5=84·25/2=42·25=1050 см³ .

Проверка:

Логика решения корректна. Проекция точки, равноудалённой от вершин треугольника, действительно является центром описанной окружности. Для прямоугольного треугольника этот центр лежит на середине гипотенузы. Угол наклона 45^° означает, что высота равна длине проекции бокового ребра. Вычисления арифметически верны: 7-24-25 — классическая пифагорова тройка, произведение площади на высоту даёт целое число, совпадающее с ключом.