10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 498: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Дмитрий Орлов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 497 499 →

Условие

Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Объём конуса вычисляется по формуле V=1/3πR²H, где R — радиус основания, а H — высота. Нам известны образующая l=13 см и площадь осевого сечения S_сеч =60 см². Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса (2R), а высотой — высота конуса (H). Таким образом, S_сеч =1/2·2R·H=RH. Также для конуса справедливо соотношение Пифагора: R²+H²=l². Нам нужно найти произведение R²H или отдельно R и H.

Вычисления.

Из условия площади сечения имеем уравнение:

RH=60

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей:

R²+H²=13²=169

Рассмотрим квадрат суммы (R+H)² и квадрат разности (R-H)²:

(R+H)²=R²+H²+2RH=169+2·60=169+120=289 (R-H)²=R²+H²-2RH=169-2·60=169-120=49

Так как R и H положительны, извлекаем корни:

R+H=289=17 |R-H|=49=7

Получаем систему двух случаев (так как мы не знаем, что больше — радиус или высота):

Если R>H, то система: {R+H=17R-H=7⇒2R=24⇒R=12, H=5 Проверка: 12·5=60 (площадь верна), 12²+5²=144+25=169=13² (образующая верна). Объём в этом случае: V₁=1/3πR²H=1/3π·12²·5=1/3π·144·5=48·5π=240π см³
Если H>R, то система: {R+H=17H-R=7⇒2H=24⇒H=12, R=5 Проверка: 5·12=60 (площадь верна), 5²+12²=25+144=169=13² (образующая верна). Объём в этом случае: V₂=1/3πR²H=1/3π·5²·12=1/3π·25·12=25·4π=100π см³

Проверка и ответ.

Задача имеет два возможных решения, так как условие не уточняет, какая сторона осевого сечения (основание или боковая сторона) соответствует большему значению относительно высоты и радиуса. Оба варианта геометрически корректны. Ключ к задаче подтверждает наличие двух ответов.

Ответ

240π см³ или 100π см³

Задача сводится к решению системы уравнений относительно R и H. Важно отметить, что без дополнительных условий (например, 'высота больше радиуса') возможны два случая симметричных значений R и H, дающих разные объёмы, так как в формуле объёма R входит в квадрате, а H линейно.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 498 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 498?

Краткий ответ: 240π см³ или 100π см³.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.