ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 500: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Используем данные о площади полной поверхности и угле сектора развёртки боковой поверхности для нахождения радиуса основания r и образующей l.
• Найдём высоту конуса h по теореме Пифагора.
• Вычислим объём конуса по формуле V=1/3πr²h.

Вычисление:

Пусть r — радиус основания конуса, а l — его образующая. Площадь полной поверхности конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

S_полн =πr²+πrl=45π Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с углом β=60^°. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса (2πr), а радиус сектора равен образующей конуса (l). Формула длины дуги сектора: L=β/360^°·2πl. Приравниваем:

2πr=60/360·2πl 2πr=1/6·2πl r=l/6impliesl=6r Подставим выражение l=6r в уравнение площади полной поверхности:

πr²+πr(6r)=45π πr²+6πr²=45π 7πr²=45π r²=45/7 r=45/7=35/7 Теперь найдём образующую l:

l=6r=185/7 Высота конуса h связана с радиусом и образующей соотношением h=l²-r²:

h=(6r)²-r²=36r²-r²=35r²=r35 h=45/7·35=45·35/7=45·5=225=15 Объём конуса вычисляется по формуле:

V=1/3πr²h V=1/3π·45/7·15 V=1/3·675π/7=225π/7

Проверка:

Проверим размерности и логику. Радиус найден корректно через связь угла развёртки и линейных размеров. Высота получилась целым числом, что часто встречается в учебных задачах. Подстановка значений обратно в площадь поверхности: π(45/7)+π(45/7)(645/7)=45π/7+270π/7=315π/7=45π. Всё сходится. Ответ совпадает с ключом.