ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 511: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Диаметр шара разделён на три равные части, через точки деления проведены перпендикулярные к диаметру плоскости. Найдите объём полученного слоя (сегмента), если радиус шара равен R.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения объёма слоя (сегмента) шара, заключённого между двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными диаметру, удобно использовать метод интегрирования или формулу объёма шарового сегмента. В данном случае проще всего рассмотреть разность объёмов двух шаровых сегментов, отсечённых этими плоскостями от соответствующих концов диаметра, либо вычислить интеграл площади сечения по высоте слоя. Диаметр шара равен 2R. Он разделён на три равные части, значит, длина каждой части равна 2R/3. Искомый слой находится в середине диаметра. Его высота h равна длине одной трети диаметра, то есть h=2R/3.
Вычисление.
Введём систему координат так, чтобы центр шара находился в начале координат (0;0;0), а диаметр лежал на оси Ox. Уравнение сферы: x2+y2+z2=R2. Сечение шара плоскостью x=const является кругом радиуса r(x)=y=z=, где площадь сечения S(x)=(R2-x2). Точки деления диаметра находятся на расстоянии R/3 и 2R/3 от конца? Нет, диаметр от -R до R. Длина 2R. Треть длины: 2R/3. Координаты точек деления: x1=-R+2R/3=-R/3 и x2=-R+4R/3=R/3. Таким образом, слой ограничен плоскостями x=-R/3 и x=R/3. Объём слоя V вычисляется как определённый интеграл от площади сечения: V=R/3-R/3(R2-x2)dx Так как подынтегральная функция чётная, можно удвоить интеграл от 0 до R/3: V=2R/30(R2-x2)dx Найдём первообразную: R/30(R2-x2)dx=[R2x-x3/3]R/30 Подставим верхний предел x=R/3: R2R/3-1/3R/33=R3/3-1/3R3/27=R3/3-R3/81 Приведём к общему знаменателю 81: 27R3/81-R3/81=26R3/81 Умножим на 2: V=226R3/81=52R3/81
Проверка.
Проверим результат через формулу объёма шарового сегмента. Объём сегмента высотой H равен Vseg=H2(R-H/3). Наш слой можно представить как разность объёмов двух сегментов, если бы мы считали от одного края, но здесь симметрия упрощает задачу. Альтернативно, можно проверить размерность и предельные случаи. При R=1, объём шара 4/34.19. Наш ответ 52/810.642.01. Это составляет примерно половину объёма шара, что логично для центрального слоя шириной 2/3 диаметра (так как сечения в центре максимальны). Расчёт верен.
52/81\pi R3
Использован метод интегрирования площадей поперечных сечений. Диаметр 2R делится на три части длиной 2R/3. Центральный слой соответствует интервалу [-R/3,R/3] на оси, проходящей через центр шара.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 511 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 511?
Краткий ответ: 5281 R^3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.