10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 555: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Алексей Широков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 554 556 →

Условие

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объём и какое — наименьший?

Куб

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения. Чтобы сравнить объёмы тел с равными площадями поверхностей, выразим объём каждого тела через его площадь поверхности S. Для этого сначала найдём линейные размеры (радиус или сторону) через S, а затем подставим их в формулы объёма. Сравним полученные коэффициенты при S^3/2.

Вычисление для шара. Площадь поверхности шара радиуса R равна S=4πR². Отсюда R=S/4π. Объём шара: V_ш =4/3πR³=4/3π(S/4π)³=4/3πSS/8ππ=1/6πS^3/2. Численно коэффициент равен 1/6·1,772≈0,094.

Вычисление для куба. Пусть сторона куба равна a. Площадь поверхности S=6a², откуда a=S/6. Объём куба: V_к =a³=(S/6)³=1/66S^3/2. Численно коэффициент равен 1/6·2,449≈0,068.

Вычисление для цилиндра. По условию диаметр основания равен высоте, то есть h=2r. Полная поверхность цилиндра: S=2πr²+2πrh=2πr²+2πr(2r)=6πr². Отсюда r=S/6π. Объём цилиндра: V_ц =πr²h=πr²(2r)=2πr³=2π(S/6π)³=2πSS/6π6π=1/36πS^3/2. Численно коэффициент равен 1/3·18,85≈1/3·4,34≈0,077.

Вычисление для конуса. По условию диаметр основания равен высоте, то есть h=2r. Найдём образующую l: l=r²+h²=r²+(2r)²=5r²=r5. Полная поверхность конуса: S=πr²+πrl=πr²+πr²5=πr²(1+5). Отсюда r²=S/π(1+5), а r=S/π(1+5). Объём конуса: V_кон =1/3πr²h=1/3πr²(2r)=2/3πr³=2/3π(S/π(1+5))^3/2=2/3π(1+5)^3/2S^3/2. Вычислим численный коэффициент: 1+5≈3,236, (3,236)^1,5≈5,82. Тогда 2/3·1,772·5,82≈2/30,9≈0,065.

Сравнение и вывод. Сопоставим полученные коэффициенты при S^3/2:

Шар: ≈0,094
Цилиндр: ≈0,077
Куб: ≈0,068
Конус: ≈0,065

Наибольший коэффициент у шара, наименьший — у конуса. Следовательно, при равных площадях поверхностей наибольший объём имеет шар, а наименьший — конус.

Ответ

Наибольший объём имеет шар, наименьший — конус.

В условии задачи №555 из учебника по геометрии за 10-11 классы (например, Атанасян) ключ ответа часто содержит указание на плотность воды, что является ошибкой привязки к другой задаче (про плавучесть). В данной задаче требуется чисто геометрическое сравнение объёмов при фиксированной площади поверхности. Расчёты показывают, что шар обладает максимальным объёмом среди всех тел с данной площадью поверхности (изопериметрическая задача), а конус с данными параметрами (h=2r) имеет минимальный объём среди перечисленных четырёх тел.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 555 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 555?

Краткий ответ: Наибольший объём имеет шар, наименьший — конус.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.