ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 560: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для пункта а) необходимо проанализировать векторы, образованные сторонами тетраэдра и отрезками, соединяющими середины рёбер. Вспомним определение равных векторов: они должны быть одинаковой длины и сонаправлены (параллельны). Для пункта б) нужно определить вид четырёхугольника MNPQ, используя свойства средних линий треугольников, входящих в состав граней тетраэдра.

Вычисление и обоснование.

а) Рассмотрим грани тетраэдра ABCD. Так как все рёбра равны, то каждая грань является правильным треугольником. 1. В треугольнике ABD точки M и N — середины сторон AB и AD. По теореме о средней линии треугольника, отрезок MN параллелен стороне BD и равен её половине: MN∥BD и MN=1/2BD. Аналогично, в треугольнике CBD точки Q и P — середины сторон CB и CD. Отрезок QP параллелен стороне BD и равен её половине: QP∥BD и QP=1/2BD. Следовательно, векторы MN и QP сонаправлены (оба направлены вдоль прямой BD в одну сторону, если рассматривать обход по контуру сечения, или противоположно, в зависимости от ориентации, но для равенства важна сонаправленность). Проверим направления: MN направлен от M к N, QP направлен от Q к P. Поскольку MN∥QP и их длины равны, то векторы MN и QP равны. Также равны векторы NM и PQ. 2. Теперь рассмотрим стороны AC. В треугольнике ABC средняя линия MQ параллельна AC и равна 1/2AC. В треугольнике ADC средняя линия NP параллельна AC и равна 1/2AC. Значит, MQ∥NP и MQ=NP. Векторы MQ и PN (или NP?) Нужно внимательно посмотреть на направление. Если мы идем по четырехугольнику MNPQ, то обычно рассматривают пары противоположных сторон. Вектор MQ сонаправлен с вектором NP? Нет, M середина AB, Q середина BC. MQ=1/2AC. N середина AD, P середина DC. NP=1/2AC. Следовательно, MQ=NP. И соответственно QM=PN. Таким образом, пары равных векторов: MN=QP и MQ=NP (а также обратные им). б) Четырёхугольник MNPQ имеет стороны MN,NP,PQ,QM. Мы установили, что MN=QP, значит, сторона MN параллельна и равна стороне QP. Это признак параллелограмма. Кроме того, так как тетраэдр правильный (все рёбра равны), то BD=AC. Тогда MN=1/2BD и MQ=1/2AC. Следовательно, смежные стороны параллелограмма равны (MN=MQ). Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.

Проверка.

Диагонали ромба перпендикулярны. Диагоналями четырёхугольника MNPQ являются отрезки MP и NQ. M и P — середины скрещивающихся рёбер AB и CD. N и Q — середины скрещивающихся рёбер AD и BC. В правильном тетраэдре отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер, взаимно перпендикулярны и равны. Это подтверждает, что MNPQ — квадрат? Нет, диагонали ромба не обязательно равны. Но в правильном тетраэдре длина отрезка, соединяющего середины скрещивающихся рёбер, равна a/2 (где a — ребро тетраэдра). То есть MP=NQ. Ромб с равными диагоналями является квадратом. Давайте проверим углы. Вектор MN параллелен BD, вектор MQ параллелен AC. Угол между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра равен 90^°. Значит, угол NMQ=90^°. Параллелограмм с прямым углом и равными сторонами — это квадрат.