ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 564: Сумма нескольких векторов

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения векторов в параллелепипеде. Вспомним основные свойства: равные векторы имеют одинаковую длину и направление (например, AB=DC=A₁B₁=D₁C₁), а также правило треугольника (XY+YZ=XZ) и правило параллелограмма.

а) Сумма AB+A₁D₁

• Заметим, что вектор A₁D₁ равен вектору AD, так как это соответствующие стороны верхнего и нижнего оснований параллелепипеда.
• Тогда сумма принимает вид: AB+AD.
• По правилу параллелограмма для основания ABCD, диагональ, выходящая из точки A, равна сумме смежных сторон. Следовательно, AB+AD=AC.

б) Сумма AB+AD₁

• Вектор AD₁ является диагональю боковой грани ADD₁A₁.
• Применим правило треугольника. Нам нужно привести слагаемые к общему началу или концу. Заметим, что AB=D₁C₁.
• Тогда AB+AD₁=D₁C₁+AD₁. Это неудобно складывать напрямую.
• Давайте переставим слагаемые или заменим один из векторов на равный ему. Рассмотрим путь от точки B. AB+AD₁. Заменим AB на DC. Тогда DC+AD₁. Не подходит.
• Используем координатный подход или геометрическую логику через промежуточные точки. AD₁=AD+DD₁. Тогда сумма: AB+AD+DD₁.
• Мы уже знаем из пункта (а), что AB+AD=AC.
• Остается сложить AC+DD₁. Так как DD₁=CC₁, то AC+CC₁=AC₁.
• Таким образом, искомый вектор — AC₁.

в) Сумма DA+B₁B

• Вектор B₁B направлен вниз по ребру. Ему равен вектор A₁A, D₁D и C₁C.
• Запишем сумму: DA+A₁A.
• Перепишем A₁A как -AA₁. Или лучше используем правило треугольника, приведя к общему началу/концу.
• Заметим, что DA=CB. Тогда CB+B₁B. Не совсем удобно.
• Давайте заменим B₁B на равный ему вектор A₁A. Сумма: DA+A₁A.
• Сложим векторы по правилу треугольника: конец первого (A) совпадает с началом второго (A₁)? Нет, начало второго A₁, конец первого A. Порядок: DA+AA′? Нет, у нас A₁A. То есть вектор идет от A₁ к A. А первый вектор идет от D к A. Они встречаются в конце.
• Перепишем DA+A₁A=A₁A+DA. Это не дает прямой цепочки.
• Используем свойство: DA=-AD. B₁B=-BB₁. Сумма -(AD+BB₁). Так как BB₁=AA₁, то внутри скобок AD+AA₁=AD₁ (диагональ грани). Значит, ответ -AD₁=D₁A.
• Проверим другим способом: DA+B₁B. Заменим DA на C₁B₁? Нет, DA=CB=C₁B₁. Тогда C₁B₁+B₁B=C₁B. Но C₁B не является стандартной диагональю, исходящей из вершины с индексом 1 или без него в привычном порядке. Давайте посмотрим на D₁A. D₁A=D₁D+DA. А D₁D=B₁B. Да! B₁B+DA=D₁D+DA=D₁A.
• Ответ: D₁A.

г) Сумма DD₁+DB

• Здесь оба вектора выходят из одной точки D. Применим правило параллелограмма или разложим на компоненты.
• DB — диагональ основания ABCD. DD₁ — вертикальное ребро.
• Рассмотрим вектор DB₁. По правилу треугольника: DB₁=DB+BB₁.
• Так как BB₁=DD₁, то DB₁=DB+DD₁.
• Сложение векторов коммутативно, поэтому DD₁+DB=DB₁.
• Ответ: DB₁.

д) Сумма DB₁+BC

• Вектор DB₁ — пространственная диагональ, идущая от D к B₁.
• Вектор BC — сторона основания.
• Заметим, что BC=AD. Тогда сумма DB₁+AD.
• Это сложно сложить напрямую по правилу треугольника, так как конец первого (B₁) не совпадает с началом второго (A).
• Давайте разложим DB₁. DB₁=DA+AB+BB₁.
• Тогда вся сумма: (DA+AB+BB₁)+BC.
• Группируем: DA+AB+BC+BB₁.
• Цепочка DA+AB+BC дает вектор DC (так как DA+AB=DB, а DB+BC=DC).
• Осталось DC+BB₁.
• Так как BB₁=CC₁, то DC+CC₁=DC₁.
• Ответ: DC₁.