ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 568: Сумма нескольких векторов
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Пусть ABCD — параллелограмм, а O — произвольная точка пространства. Докажите равенства
а) OB-OA=OC-OD
б) OB-OC=DA.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства векторных равенств в параллелограмме ABCD воспользуемся свойствами разности векторов и определением равных векторов. Вспомним, что для любых точек X,Y,Z справедливо тождество XY-XZ=ZY. Также учтем свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны, то есть AB=DC и AD=BC.
Вычисление и доказательство.
а) Рассмотрим левую часть равенства OB-OA. По правилу вычитания векторов (правило треугольника), эта разность равна вектору, соединяющему конец уменьшаемого с концом вычитаемого:
OB-OA=ABТеперь рассмотрим правую часть равенства OC-OD. Аналогично применяем правило вычитания:
OC-OD=DCТак как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны AB и DC равны и параллельны, а направление векторов AB и DC совпадает (оба идут «вправо» или оба «влево» относительно порядка вершин). Следовательно:
AB=DCПодставляя полученные выражения, имеем OB-OA=OC-OD, что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим левую часть равенства OB-OC. Снова используем правило вычитания векторов:
OB-OC=CBВ параллелограмме ABCD сторона BC параллельна стороне AD, и векторы CB и DA являются противоположными по направлению к векторам BC и AD. Однако проще заметить, что CB=-BC. Так как BC=AD (как соответствующие стороны параллелограмма при обходе против часовой стрелки или по свойству AD=BC), то нужно быть внимательным с направлением.
Давайте проверим направления точнее. Вектор CB направлен от C к B. Вектор DA направлен от D к A. В параллелограмме ABCD вектор CB равен вектору DA? Нет, обычно AD=BC, значит DA=CB. Да, это верно. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Если мы идем от D к A, то это тот же самый вектор, если идти от C к B (при стандартной нумерации вершин по кругу).
Итак, OB-OC=CB. А так как ABCD — параллелограмм, то CB=DA. Следовательно:
OB-OC=DAРавенство доказано.
Проверка.
Мы использовали фундаментальное свойство разности векторов с общим началом: OX-OY=YX. Это преобразование не зависит от положения точки O в пространстве. Далее мы опирались только на геометрические свойства параллелограмма (AB=DC и CB=DA), которые выполняются всегда. Логика вывода последовательна и корректна.
Доказано через свойства разности векторов и равенство противоположных сторон параллелограмма.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 568 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 568?
Краткий ответ: Доказано через свойства разности векторов и равенство противоположных сторон параллелограмма.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Сумма нескольких векторов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.